Родители современных детей с завистью наблюдают за вундеркиндами – участниками телевизионных шоу «Лучше всех» и «Удивительные люди» – и переживают, что их чада не отличаются выдающимся умом и супер-сообразительностью: плохо усваивают программу начальной школы, не любят напрягать мозг и боятся уроков математики.
С первого класса они считают на пальцах и палочках, не знают приемов устного счета, поэтому испытывают большие проблемы по всем предметам школьного курса.
Приемы быстрого устного счета просты и легко усваиваемы, но нужно помнить, что успешное овладение ими предполагает не механическое, а вполне осознанное использование приемов и, помимо этого, более или менее длительную тренировку.
Усвоив элементарные приемы устного счета, пользующиеся ими смогут правильно и быстро выполнять мгновенные расчеты в уме с такой же безошибочностью, как и при письменных вычислениях.
Особенности
Существует очень много методик, способствующих обучению быстрому счету в уме. При всем видимом отличии у них есть важное сходство - они зиждутся на трех «китах»:
- Тренировки и накопление опыта. Регулярная практика, решение заданий от простого к сложному качественно и количественно меняют навык устных вычислений.
- Алгоритм. Знание и применение «секретных» приемов и законов значительно упрощает процесс счета.
- Способности и природная одаренность. Развитая краткосрочная память и ее немалый объем, а также высокая концентрация внимания - большое подспорье в занятиях быстрым счетом в уме. Несомненный плюс - наличие математического склада ума и предрасположенности к логическому мышлению.
Польза устного счета
Люди - не железные роботы, но тот факт, что они создают умные машины, говорит об их интеллектуальном превосходстве. Человеку нужно постоянно держать в тонусе свой мозг, чему активно способствует тренировка навыка счета в уме.
Для повседневной жизни:
- успешный устный счет - показатель аналитического склада ума;
- регулярный счет в уме убережет вас от раннего слабоумия и старческого маразма;
- ваше умение хорошо складывать и вычитать не позволит вас обмануть в магазине.
Для успешной учебы:
- активизируется мыслительная деятельность;
- развиваются память , речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции, сообразительность, умение отыскивать наиболее рациональные пути для решения поставленной задачи;
- укрепляется уверенность в своих возможностях.
Когда следует начинать обучение?
Как утверждают ученые умы (психологи и педагоги), ребенок к 4-м годам уже способен складывать и вычитать. А к 5-ти годам кроха может свободно решать примеры и простые задачи. Но это статистика, а дети не всегда под нее подстраиваются. Поэтому все здесь сугубо индивидуально.
Правила
Царица наук – математика – позаботилась о школьниках и составила свод законов, алгоритмов и правил, усвоив которые и умело ими пользуясь, дети полюбят математику и умственный труд:
- Переместительное свойство сложения: меняя местами компоненты действия, получаем тот же результат.
- Сочетательное свойство сложения: при складывании трех и более чисел любые два (или больше) числовые значения можно заменить их суммой.
- Сложение и вычитание с переходом через десяток: дополнить больший компонент
- До круглых десятков, а потом прибавить остаток от другого компонента.
- Вычитаем вначале отдельные единицы из числа до знака действия, а далее из круглых десятков вычитаем остаток вычитаемого.
- Представив уменьшаемое в виде суммы десятков и единиц, уберем из десятков большего меньшее и прибавим к ответу единицы уменьшаемого.
- При складывании и вычитании круглых десятков (их еще величают «круглые» числа) десятки можно считать так же, как единицы.
- Сложение и вычитание десятков и единиц. Десятки удобнее прибавлять к десяткам, а единицы - к единицам.
Прибавление числа к сумме
Способы следующие:
- Вычисляем ее значение, а затем прибавляем к ней данную величину.
- Прибавляем его к первому слагаемому, а затем к результату прибавляем второе слагаемое.
- Число прибавляем ко второму слагаемому, а затем к ответу прибавляем первое слагаемое.
Прибавление суммы к числу
Способы следующие:
- Вычислим ее показание, а затем прибавим к числу.
- К числу прибавим первое слагаемое, а затем к результату прибавим второе слагаемое.
- К числу прибавим второе слагаемое, а затем к результату прибавим первое слагаемое.
Сложение двух сумм. Складывая две суммы, выбираем наиболее удобный способ вычисления.
Использование главных свойств умножения
Методики таковы:
- Переместительное свойство умножения. Если поменять сомножители местами, их произведение не изменится.
- Сочетательное свойство умножения. При перемножении трех и более чисел любые два (и больше) числа можно заменить их произведением.
- Распределительное свойство умножения. Чтобы умножить сумму на число, надо умножить каждое ее составляющее на это число и полученные произведения сложить.
Умножение и деление чисел на 10 и 100
- Чтобы увеличить любое число в 10 раз, надо приписать к нему справа один ноль.
- Чтобы это же сделать в 100 раз - надо приписать к нему справа два ноля.
- Чтобы уменьшить число в 10 раз, надо отбросить справа один ноль, а чтобы разделить на 100 - два ноля.
Умножение суммы на число
- 1-й способ. Посчитаем сумму и умножим ее на данную величину.
- 2-й способ. Перемножим число с каждым из слагаемых, и полученные ответы сложим.
Умножение числа на сумму
- 1-й способ. Найдем сумму и умножим число на то, что получим.
- 2-й способ. Умножим число на каждое из слагаемых, и полученные произведения сложим.
Деление суммы на число
- 1-й способ. Вычислим сумму и разделим ее на число.
- 2-й способ. Каждое из слагаемых разделим на число и полученные частные сложим.
Деление числа на произведение
Варианты:
- 1-й способ. Разделим число на первый множитель, а затем полученный результат разделим на второй множитель.
- 2-й способ. Разделим число на второй множитель, а затем полученный результат разделим на первый множитель.
Виды
На уроках на устный счет отводится мизерное время, но это не умаляет его значения для развития мыслительной деятельности ребят. Навыки устных вычислений формируются на уроках математики в начальной школе при выполнении разнообразных видов заданий и упражнений.
Найти значение математического выражения
Сравнить математические выражения
Подобные задания отличаются вариативностью:
- определить равенство либо неравенство двух данных выражений (предварительно найдя и сравнив их значения);
- к заданным знаку отношению и одному из выражений составить второе выражение или дополнить незаконченное предложенное;
- в таких упражнениях в выражениях могут использоваться однозначные, двузначные, трехзначные числа и величины и все четыре арифметических действия. Главное назначение подобных заданий - прочное усвоение теоретического материала и отработка вычислительных навыков.
- Решить уравнения. Они помогают усвоить связи между компонентами и результатами арифметических действий.
- Решить задачу. Это могут быть и простые и составные задачи. С их помощью укрепляются теоретические знания, вырабатываются вычислительные умения и навыки, активизируется мыслительная деятельность детей.
Приемы устного счета
Признаки делимости чисел:
- на 2: все, что превышают его, и в числовом ряду идут через одно;
- на 3 и 9: если сумма цифр кратна этим показателям без остатка;
- на 4: если две последние цифры в записи последовательно образуют число, которое подвергается делению на 4;
- на 5: круглые десятки и те, где на конце стоит 5;
- на 6: делятся числа, которые кратны двойке и тройке;
- на 10: числовые значения, в записи которых на конце стоит 0;
- на 12: делятся числа, которые можно разделить на тройку и четверку одновременно;
- на 15: числа, которые делятся одновременно на целые однозначные составляющие это число множители.
Формы счета в начальной школе
Хорошо известно, что основным видом деятельности дошкольников и младших школьников является игра, которую полезно включать во все этапы урока. Некоторые формы проведения устного счета приведем ниже.
Игра «Молчанка»
Содействует воспитанию внимания и дисциплины. Молчанка может состоять из примеров в одно действие, два и больше. В нее играют во всех классах начальной школы как с отвлеченными целыми числами, так и с именованными числами.
Учащиеся считают в уме и молча по вызову учителя пишут на доске ответы на предложенные им примеры. Правильные ответы встречаются легкими хлопками, а неправильные - молчанием.
Игра «Лото»
Может быть несколько видов, соответствующих тем разделам математики, которые изучены и нуждаются в закреплении. Например, лото с примерами на умножение и деление в пределах «сотни».
Для придания большего интереса игре покрышки с ответами могут быть сделаны из разрезанной картинки. Если все примеры решены правильно, из покрышек получается картинка.
Игра «Арифметические лабиринты»
Они имеют вид концентрических кругов с воротами, у которых стоят числа. Чтобы добраться до центра, нужно набрать стоящее в центре число. Лабиринты для решения могут требовать или одного действия (сложения), или нескольких. Нужно учесть, что эти задачи имеют несколько решений.
Игра «Догони летчика» (разновидность «Лесенки»)
На доске рисунок: самолет с петлями, в которых примеры. Два вызванных ученика записывают ответы слева и справа от петель. Кто правильно и быстрее решит, тот и догонит пилота.
Игра «Круговые примеры»
Дидактический материал представляет собой набор карточек, разложенных по конвертам; в каждом из них имеется 8 карточек, на каждой из которых написан один пример.
Числовые примеры в каждом конверте по своему содержанию различны и подбираются по принципу самоконтроля: при их решении результат одного примера будет началом следующего.
Круговые примеры могут предлагаться в виде лесенок.
Методы и техники развития
Рассматривая способы научить детей 6 лет быстрому счету в уме, невозможно не отметить уникальность и простоту японской методики счета «Соробан». Методика «Соробан» позволяет обучать деток в возрасте от 4 до 11 лет, развивая их умственные способности и расширяя круг интеллектуальных возможностей малышей. Любого школьника легко научить считать примеры по математике в уме, применяя японскую методику счета на соробане. Практикуя ментальный устный счет, мы включаем в работу весь мозг , тем самым разгружая левое полушарие, которое отвечает за решение математических задач.
Ментальная арифметика позволяет заинтересовать даже «образное» полушарие вычислительными операциями, что повышает эффективность работы мозга.
Большие числа требуют письменных приемов вычислений, хотя есть индивиды, которые оттачивают свое мастерство в работе и с ними.
Считать примеры по математике в уме - жизненная необходимость, так как экзамены в школе проходят сейчас без применения калькуляторов, и умение считать в уме входит в список обязательных навыков выпускников 9 и 11 классов.
Основное правило для сложения в уме:
Особенности вычитания: приведение к круглым числам
Однозначные вычитаемые округляем до 10, двузначные - до 100. Вычитаем 10 или 100 и прибавляем поправку. Прием актуален для небольших поправок.
Вычитаем в уме трехзначные числа
Опираясь на хорошее знание состава чисел 1-го десятка, можно вычитать по частям в таком порядке: сотни, десятки, единицы.
Умножать и делить можно без проблем, зная таблицу умножения - «палочку-выручалочку» к быстрому освоению счета в уме. Примечательно, что деревенские дети дореволюционной России знали продолжение так называемой таблицы Пифагора - с 11 до 19, и современным школярам неплохо бы знать на память таблицу до 19*9.
Чтобы увлечь детей математикой и сделать трудные моменты в школьной программе ближе и доступнее, существуют способы и методические приемы, превращающие сложности в забавное и интересное:
- Чтобы умножить любое однозначное число на 9, покажем всем свои пустые ладони. Загнем палец, соответствующий по порядку (считая от большого пальца левой руки) числу первого сомножителя. Смотрим, сколько пальцев слева от загнутого - это будут десятки искомого произведения, а справа - его же единицы.
- Умножение на 11 любого двузначного числа, сумма цифр которого не достигает 10, осуществляется забавно и просто: мысленно раздвинем цифры этого числа и поставим между ними их сумму - ответ готов.
- В случае, если сумма цифр умножаемого на 11 числа окажется равна 10-ти или более 10-ти, то между мысленно раздвинутыми цифрами этого числа следует поставить их сумму и сложить первые две цифры слева, оставив две другие без изменения, – получили произведение.
bart в Простая математика или как научиться быстро считать в уме.
Уже не представляете свою жизнь без калькулятора? Очень зря, ученые доказали, что люди, регулярно считающие в уме застрахованы от старческого маразма и раннего слабоумия. Так что практикуйтесь почаще, а я расскажу вам несколько простых приемов легкого и быстрого счета в уме.
1. Умножаем на 11
Все мы знаем, как быстро умножить число на 10, нужно лишь добавить ноль в конце, но знаете ли вы, что есть фишка как легко умножить двузначное число на 11?
Допустим, нам нужно умножить 63 на 11. Возьмите двузначное число, которое нужно умножить на 11 и представьте между его двумя цифрами место:
6_3
Теперь сложите первую и вторую цифру этого числа и поместите в это место:
6_(6+3)_3
И наш результат умножения готов:
63*11=693
Если же результат сложения первой и второй цифры двузначное число, вставляйте только вторую цифру, а к первой цифре исходного числа прибавляйте единицу:
79*11=
7_(7+9)_9
(7+1)_6_9
79*11=869
2. Быстрое возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5
Если вам нужно возвести в кадрат двузначное число, заканчивающееся на 5, то вы можете сделать это очень просто в уме. Умножьте первую цифру числа на саму себя плюс единица и добавьте в конце 25, и это всё:
45*45=4*(4+1)_25=2025
3. Умножение на 5
Для большинства людей умножение на 5 не составляет труда для небольших чисел, но как быстро считать в уме большие числа, умноженные на 5?
Вам нужно взять это число и разделить на 2. Если результат целое число, то добавьте к нему 0 в конце, если нет, отбросьте остаток и добавьте 5 в конце:
1248*5=(1248/2)_(0 или 5)=624_(0 или 5)=6240 (результат деления на 2 целое число)
4469*5=(4469/2)_(0 или 5)=(2234.5)_(0 или 5)=22345 (результат деления на 2 число с остатком)
4. Умножение на 4
Это очень простая и, с первого взгляда, очевидная фишка умножения любого числа на 4, но насмотря на это люди не догадываются о ней в нужный момент. Чтобы просто умножить любое число на 4, нужно уножить его на 2, а потом снова умножить на 2:
67*4=67*2*2=134*2=268
5. Вычислить 15%
Если вам нужно в уме вычислить 15% от какого-либо числа, то есть простой способ, как это сделать. Возьмите 10% от числа (разделив число на 10) и добавьте к этому числу половину от полученных 10%.
15% от 884 рублей=(10% от 884 рублей)+((10% от 884 рублей)/2)=88.4 рубля + 44.2 рубля = 132.6 рублей
6. Умножение больших чисел
Если вам нужно перемножить большие числа в уме и одно из них четное, то вы можете воспользоваться методом упрощения множителей, уменьшя четно число в два раза, а второе увеличивая в два раза:
32*125 это
16*250 это
8*500 это
4*1000=4000
7. Деление на 5
Разделить большое число на 5 в голове очень просто. Всё что нужно, это умножить число на 2 и сместить запятую на один знак назад:
175/5
Умножаем на 2: 175*2=350
Смещаем на один знак: 35.0 или 35
1244/5
Умножаем на 2: 1244*2=2488
Смещаем на один знак: 248.8
8. Вычитание из 1000
Чтобы вычесть большое число из тысячи, следуйте простой технике, отнимайте все цифры числа от 9, кроме последней, а последнее цифру числа отнимите от 10:
1000-489=(9-4)_(9-8)_(10-9)=511
Разумеется, чтобы научиться быстро считать в уме, нужно много раз попрактиковаться в использовании этих приемов, чтобы довести их до автоматизма, одноразовое прочтение оставит только нули в вашей голове.
Умение быстро анализировать ситуацию, просчитывать варианты развития и составлять единое изображение реальности - это одно из ключевых умений высокоэффективных людей. Личностное развитие невозможно без интеллектуального, чему способствует быстрый счет в уме. В общем, о технике увеличения скорости мышления мы и поговорим в статье.
Как нас обманывает наш мозг
Исследования в области работы мозга приводят такие данные, в которые сложно поверить. Большая часть населения считает себя куратором мозга. Но это иллюзорное представление. На самом деле мозг уже принял решение за вас и посредством нервных импульсов передал его в сознание.
Мышление человека практически не изучено, составлена лишь малая картина происходящего в мозге. Грубо говоря, наши действия не определяются собственным "Я", хотя и это весьма расплывчатая формулировка. И зная это, можно приступать к изучению техники быстрого счета в уме.
Как эффективнее обучаться
Память дифференцируется на долговременную и краткосрочную, в первом случае знания откладываются в мозг навсегда. А второй вид необходим для зазубривания информации, чтения.
Современный молодой человек - это мультимедийная личность с клиповым мышлением. Отложить данные в долговременной памяти для него крайне сложно, ведь постоянное поступление информации захламляет его "жесткий диск".
Поэтому обучение методике быстрого счета в уме должно происходить в спокойном состоянии, когда человек не отвлекается на внешние раздражители. Иначе через несколько часов он все забудет.
А зачем мне это учить?
Да, в настоящий момент складывать цифры в уме нет надобности. Для этого придуманы специальные технические средства, но неиспользование мозга приводит к деградации личности.
А стремление к знаниям - это вечность. Такие люди уверены в себе, надеются только на собственные силы, а приобретенные навыки используются по назначению, тем самым обогащая индивида духовно и материально. Быстрый счет в уме развивает в человеке чувство контроля, увеличивает концентрацию внимания.
Способ первый. Для ленивых
Обладатели устройств на платформе Andorod и IOS могут скачать развивающие приложения и игры. Нейробиологи советуют комплексно подходить к быстрому счету в уме. Обучение происходит в несколько этапов, описанных ниже:
- Загружаются приложения для развития внимания, концентрации т. п.
- Затем пользователь скачивает развивалки для памяти.
В первом действии человек подготавливает свой мозг, так сказать, разогревает его для усиленных занятий. После чего приступает к работе над счетом в уме. Обратите внимание, приложения должны легко регулироваться, как снижение или повышение уровня сложности заданий, так и изменение времени на работу над ним.
Способ второй. Базовые знания
Для быстрого старта подобраны задания начального уровня. Сложение и вычитание небольших цифр, например 3 и 10. Техника называется «Опора на десяток».
Порядок действий:
- Задавайте вопросы простого характера, типа сколько 3 + 8 или 9 + 1. Ответ: 11 и 10.
- Сколько не хватает числу 10, чтобы стать 14? Ответ: 4.
- Затем возьмите любое число, к примеру, 9, и узнайте, сколько 2 в этом числе, и при нехватке добавьте недостающие цифры. Ответ: четыре двоек + 1.
- Прибавьте число из второго действия (4) к той части, которой недоставало для получения (1) девяти и сложите их. Ответ: 5.
Отточите свой навык до совершенства и только потом приступайте к более сложным тестам.
Способ третий. Многозначные числа
Здесь используются навыки, которые приобретены в школе. Сложение в столбик или в строчку - самое популярное среди школьников и студентов без вычислительных средств. Разберем на примере двух чисел: 1345 и 6789. Для начала дифференцируем их:
- Число 1234 - состоит из 1000, 200, 30 и 4.
- А 6789 - из 6000, 700, 80 и 9.
Быстрый счет в уме проходит по следующим действиям:
- Изначально складываются однозначные значения, это 4 + 9 = 13.
- Складывается 30 + 80 = 110.
- Переходим к трехзначным, 700 + 200 = 900.
- И затем считаем четырехзначные: 1000 + 6000 = 7000.
- Суммируем: 7000 + 900 + 110 + 13 = 8023 и проверяем на калькуляторе.
И более быстрый, но требующий фантазии способ:
- Представляем в голове одно число над другим.
- Складываем числа, начиная с их конца.
- Если 4 + 9 = 13, то откладываем единицу в голове и прибавляем к итоговому значению следующие числа.
На скриншоте этот способ представляется так, в ваших мыслях он должен иметь аналогичную структуру.
Способ четыре. Вычитание
Как и со сложением, вычитание начинается с вводного урока. Внимание человека должно быть сконцентрировано исключительно на подсчете числовых значений. Отвлекаться на посторонние шумы нельзя, иначе ничего не выйдет. На этот раз вычтем из 10 8 и посмотрим, что из этого выйдет:
- Для начала узнаем, сколько надо вычесть из десяти, чтобы получить восемь. Ответ: два.
- Из десяти вычитаем восемь по частям - для начала эту двойку, а затем остальные числа. И посчитаем, сколько надо раз отнять, чтобы получить ноль. Ответ: пять.
- Вычитаем из десяти пятерку. Ответ: пять.
- И от восьми отнимаем полученный ответ. Ответ: три.
Способ пять. Комбинированный
Появился в результате взаимодействия сложения и вычитания. Суть простая, необходимо взять число и начать отнимать от него различные числа или прибавлять с некоторыми реформациями. За исходное принимается число 9, начнем:
- От девяти отнимается шесть и одновременно прибавляется четыре. Ответ: семь.
- Семь разбивается на составные части, к примеру: 2 + 3 + 2.
- И к каждому прибавляется рандомное значение, возьмем 2. Получается, 2 + 2 = 4, 3 + 2 = 5 и 2 + 2 = 4.
- Суммируем полученные числа: 4 + 5 + 4 = 13.
- Вновь располагаем значение по частям и повторяем действия, используя только вычитание.
А с вычитанием больших чисел ситуация аналогична сложению. Все действия проговаривайте вслух, чтобы работало несколько видов памяти и ускорялся быстрый счет в уме.
За какой период времени можно стать сверхчеловеком?
Основных математических действий четыре:
- Вычитание.
- Сложение.
- Умножение.
- Деление.
И все будет зависеть от того, насколько часто человек занимается тренировками мозга. При плодотворной работе в течении 15-20 минут в день заметный результат наступит через два или три месяца. Для сохранения эффекта скоростного вычисления сверхчеловеку надо будет уделять всего 2-3 минуты в день на повторение пройденного. А через несколько лет это войдет в привычку, и индивид и замечать не будет, как он считает в уме.
] От составителя
В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета. Они рассчитаны на средние способности и имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.
Отв. редактор В. А. Камский . Техн. ред. А. Я. Барвиш 4-я тип. Лениздата им. Григорьева 4021
Умножение на однозначное число
§ 1. Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 × 8 ), выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20 × 8 = 160 ), затем единицы (7 × 8 = 56 ) и оба результата складывают.
Еще примеры:
34 × 7 = 30 × 7 + 4 × 7 = 210 + 28 = 23847 × 6 = 40 × 6 + 7 × 6 = 240 + 42 = 282
§ 2. Полезно знать на память таблицу умножения до 19 × 9 :
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 |
| 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 |
| 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 |
| 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 |
| 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 |
| 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 |
| 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 |
| 18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 |
| 19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 |
Зная эту таблицу, можно умножение например, 147 × 8 выполнить в уме так:
147 × 8 = 140 × 8 + 7 × 8 = 1120 + 56 = 1176§ 3. Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например:
225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3 = 1350 Умножение на двузначное число§ 4. Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.
Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:
6 × 28 = 28 × 6 = 120 + 48 = 168§ 5. Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
29 × 12 = 29 × 10 + 29 × 2 = 290 + 58 = 348 41 × 16 = 41 × 10 + 41 × 6 = 410 + 246 = 656 (или 41 × 16 = 16 × 41 = 16 × 40 + 16 = 640 + 16 = 656 )Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.
§ 6. Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2 × 7 ), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:
45 × 14 = 90 × 7 = 630 Умножение на 4 и на 8§ 7. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
112 × 4 = 224 × 2 = 448 335 × 4 = 670 × 2 = 1340§ 8. Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:
217 × 8 = 434 × 4 = 868 × 2 = 1736(Еще удобнее: 217 × 8 = 200 × 8 + 17 × 8 = 1600 × 13 = 1736 ).
Деление на 4 и на 8§ 9. Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:
76: 4 = 38: 2 = 19 236: 4 = 118: 2 = 59§ 10. Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:
464: 8 = 232: 4 = 116: 2 = 58 516: 8 = 258: 4 = 129: 2 = 64 1 / 2 Умножение на 5 и на 25§ 11. Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на 10 / 2 , т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:
74 × 5 = 740: 2 = 370 243 × 5 = 2430: 2 = 1215При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:
74 × 5 = 74 / 2 × 10 = 370§ 12. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100 / 4 , т. е. - если число кратно 4-х - делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:
72 × 25 = 72 / 4 × 100 = 1800Если же число при делении на 4 дает остаток, то
| при | приписывают |
| остатке: | к частному |
| 1 | 25 |
| 2 | 50 |
| 3 | 75 |
Основание приема ясно из того, что
100: 4 = 25;200: 4 = 50;300: 4 = 75 Умножение на 1 1 / 2 , на 1 1 / 4 , на 2 1 / 2 , на 3 / 4§ 13. Чтобы устно умножить число на 1 1 / 2 прибавляют к множимому его половину. Например:
34 × 1 1 / 2 = 34 + 17 = 51 23 × 1 1 / 2 = 23 + 11 1 / 2 = 34 1 / 2 (или 34,5)§ 14. Чтобы устно умножить число на 1 1 / 4 , прибавляют к множимому его четверть. Например:
48 × 1 1 / 4 = 48 + 12 = 60 58 × 1 1 / 4 = 58 + 14 1 / 2 = 72 1 / 2 или (72,5)§ 15. Чтобы устно умножить число на 2 1 / 2 , к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например:
18 × 2 1 / 2 = 36 + 9 = 45 39 × 2 1 / 2 = 78 + 19 1 / 2 = 97 1 / 2 (или 97,5)Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:
18 × 2 1 / 2 = 90: 2 = 45§ 16. Чтобы устно умножить число на 3 / 4 (т. е. чтобы найти 3 / 4 этого числа), умножают число на 1 1 / 2 и делят пополам. Например:
30 × 3 / 4 = 30 + 15 / 2 = 22 1 / 2 (или 22,5) Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины. Умножение на 15, на 125, на 75§ 17. Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 1 1 / 2 (потому что 10 × 1 1 / 2 = 15 ). Например:
18 × 15 = 18 × 1 1 / 2 × 10 = 270 45 × 15 = 450 + 225 = 675§ 18. Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 1 1 / 4 (потому что 100 × 1 1 / 4 = 125 ). Например:
26 × 125 = 26 × 100 × 1 1 / 4 = 2600 + 650 = 3250 47 × 125 = 47 × 100 × 1 1 / 4 = 4700 + 4700 / 4 = 4700 + 1175 = 5875§ 19. Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3 / 4 (потому что 100 × 3 / 4 = 75 ). Например:
18 × 75 = 18 × 100 × 3 / 4 = 1800 × 3 / 4 = 1800 + 900 / 2 = 1350 Примечание . Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6:
18 × 15 = 90 × 3 = 270 26 × 125 = 130 × 25 = 3250 Умножение на 9 и на 11§ 20. Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:
62 × 9 = 620 - 62 = 600 - 42 = 558 73 × 9 = 730 - 73 = 700 - 43 = 657§ 21. Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:
87 × 11 = 870 + 87 = 957 Деление на 5, на 1 1 / 2 , на 15§ 22. Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру. Например:
68: 5 = 136 / 10 = 13,6 237: 5 = 474 / 10 = 47,4 36: 1 1 / 2 = 72: 3 = 24 53: 1 1 / 2 = 106: 3 = 35 1 / 3 240: 15 = 480: 30 = 48: 3 = 16 462: 15 = 924: 30 = 3024 / 30 = 30 4 / 5 = 30,8 (или 924: 30 = 308: 10 = 30,8 ) Возвышение в квадрат§ 25. Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8 × 9 = 72 ) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:
25 2 ; 2 × 3 = 6; 625 45 2 ; 4 × 5 = 20; 2025 145 2 ; 14 × 15 = 210; 21025Прием этот вытекает из формулы
(10x + 5) 2 = 100x 2 + 100x + 25 = 100x (x + 1) + 25§ 26. Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:
8,5 2 = 72,2514,5 2 = 210,25 0,35 2 = 0,1225 , и т. п.§27. Так как 0,5 = 1 / 2 , а 0,25 = 1 / 4 , то приемом §25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью 1 / 2:
(8 1 / 2) 2 = 72 1 / 4 (14 1 / 2) 2 = 210 1 / 4 и т. п.§ 28. При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (а ± b ) 2 = а 2 + b 2 ± 2аb . Например:
41 2 = 40 2 + 1 + 2 × 40 = 1601 + 80 = 1681 69 2 = 70 2 + 1 - 2 × 70 = 4901 - 140 = 4761 36 2 = (35 + 1) 2 = 1225 + 1 + 2 × 35 = 1296 Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.Вычисления по формуле (а + b ) (а - b ) = а 2 - b 2
§ 29. Пусть требуется выполнить устно умножение
52 × 48 Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2) × (50 - 2) и применяем приведенную в заголовке формулу:
(50 + 2) × (50 - 2) = 50 2 - 2 2 = 2496 Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой - в виде разности тех же чисел:
69 × 71 = (70 - 1) × (70 + 1) = 4899 33 × 27 = (30 + 3) × (30 - 3) = 891 53 × 57 = (55 - 2) × (55 + 2) = 3021 84 × 86 = (85 - 1) × (85 + 1) = 7224§ 30. Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:
7 1 / 2 × 6 1 / 2 = (7 + 1 / 2) × (7 - 1 / 2) = 48 3 / 4 11 3 / 4 × 12 1 / 4 = (12 - 1 / 4) × (12 + 1 / 4) = 14315 / 16 Полезно запомнить: Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:
| 77 × 13 = 1001 | 91 × 11 = 1001 |
| 77 × 26 = 2002 | 91 × 22 = 2002 |
| 77 × 39 = 3003 | 91 × 33 = 3003 |
| и т. д. | и т. д. |
УКАЗАТЕЛЬ Умножение
Приемы быстрого счета: магия, доступная всем
Для того чтобы понять, какую роль в нашей жизни играют цифры, поставьте простой эксперимент. Попробуйте некоторое время обойтись без них. Без цифр, без вычислений, без измерений… Вы окажетесь в странном мире, где почувствуете себя абсолютно беспомощным, связанным по рукам и ногам. Как успеть на встречу вовремя? Отличить один автобус от другого? Позвонить по телефону? Купить хлеб, колбасу, чай? Сварить суп или картошку? Без чисел, а значит, без счета жизнь невозможна. Но как тяжело иногда дается эта наука! Попробуйте быстро перемножить 65 на 23? Не получается? Рука сама тянется за мобильником с калькулятором. А, между тем, полуграмотные русские крестьяне 200 лет назад спокойно делали это, пользуясь лишь первым столбиком таблицы умножения - умножением на два. Не верите? А зря. Это - реальность.
"Компьютер" каменного века
Даже не зная чисел, люди уже пытались считать. Если нашим предкам, обитавшим в пещерах и носившим шкуры, нужно было поменяться чем-либо с соседним племенем, они поступали просто: расчищали площадку и выкладывали, например, наконечник стрелы. Рядом ложилась рыба или горсть орехов. И так до тех пор, пока не заканчивался один из обменных товаров, или глава "торговой миссии" не решал, что уже хватит. Примитивно, но по-своему очень удобно: и не запутаешься, и не обманут.
С освоением скотоводства задачи усложнились. Большое стадо нужно было как-то считать, чтобы знать, все ли козы или коровы на месте. "Счетной машиной" неграмотных, но умных пастухов стала долбленая тыква с камешками. Как только животное покидало загон, пастух клал в тыкву камешек. Вечером стадо возвращалось, и пастух вынимал по камешку с каждым входившим в загон животным. Если тыква пустела, он знал, что со стадом все в порядке. Если оставались камешки - шел искать потерю.
Когда появились цифры, дело пошло веселее. Хотя еще долго у наших предков в ходу было лишь три числительных: "один", "пара" и "много".
Можно ли считать быстрее компьютера?
Обогнать устройство, выполняющее сотни миллионов операций в секунду? Невозможно… Но тот, кто говорит так, жестоко лукавит, или просто кое-что умышленно упускает из вида. Компьютер - это лишь набор микросхем в пластике, он не считает сам по себе.
Поставим вопрос по-другому: может ли человек, считая в уме, обогнать того, кто выполняет вычисления на компьютере? И здесь ответ - да. Ведь, чтобы получить ответ от "черного чемоданчика", данные в него необходимо сначала ввести. Это будет делать человек при помощи пальцев или голосом. А все эти действия имеют ограничения по времени. Непреодолимые ограничения. Сама природа поставила их человеческому телу. Всему - кроме одного органа. Мозга!
Калькулятор умеет выполнять лишь две операции: сложение и вычитание. Умножение для него - это множественное сложение, а деление - множественное вычитание.
Наш мозг поступает по-другому.
Класс, где учился будущий король математики, Карл Гаусс, как-то получил задание: сложить все числа от 1 до 100. Карл написал на своей доске абсолютно правильный ответ, как только учитель закончил объяснять задание. Он не стал прилежно складывать числа по порядку, как поступил бы любой уважающий себя компьютер. Он применил открытую им самим формулу: 101 х 50 = 5050. И это далеко не единственный прием, ускоряющий вычисления в уме.
Простейшие приемы быстрого счета
Их изучают в школе. Самое простое: если вам нужно прибавить к любому числу 9, прибавляете 10 и вычитаете 1, если 8 (+ 10 - 2), 7 (+ 10 - 3) и т.д.
54 + 9 = 54 + 10 - 1 = 63. Быстро и удобно.
Двухзначные числа складываются так же легко. Если во втором слагаемом последняя цифра больше пяти, число округляется до следующего десятка, а потом "лишнее" вычитается. 22 + 47 = 22 + 50 - 3 = 69. Если ключевая цифра меньше пятерки, то надо сложить сперва десятки, затем единицы: 27 + 51 = 20 + 50 + 7 + 1 = 78.
С трехзначными числами точно так же не возникает никаких трудностей. Складываем их, как читаем, слева на право: 321 + 543 = 300 + 500 + 20 + 40 + 1 + 3 = 864. Гораздо проще, чем в столбик. И гораздо быстрее.
А вычитание? Принцип тот же: вычитаемое округляем до целого и добавляем недостающее: 57 - 8 = 57 - 10 + 2 = 49; 43 - 27 = 43 - 30 + 3 = 16. Быстрее чем на калькуляторе - и никаких претензий от учителя даже во время контрольной!
Нужно ли учить таблицу умножения?
Дети этого, как правило, терпеть не могут. И правильно делают. Ни к чему ее учить! Но не спешите возмущаться. Никто не утверждает, что таблицу не нужно знать.
Ее изобретение приписывают Пифагору, но, скорее всего, великий математик лишь придал законченную, лаконичную форму тому, что уже было известно. На раскопках древней Месопотамии археологи нашли глиняные таблички с сакраментальным: "2 х 2". Люди давно пользуются этой в высшей степени удобной системой вычислений и открыли множество способов, которые помогают постичь внутреннюю логику и красоту таблицы, понять - а не тупо, механически зазубрить.
В древнем Китае таблицу начинали учить с умножения на 9. Так проще, и не в последнюю очередь потому, что умножать на 9 можно "на пальцах".
Положите обе руки на стол ладонями вниз. Первый слева палец - 1, второй - 2 и т.д. Допустим, вам нужно решить пример 6 х 9. Поднимите шестой палец. Пальцы слева покажут десятки, справа - единицы. Ответ 54.
Пример: 8 х 7. Левая рука - первый множитель, правая - второй. На руке пять пальцев, а нам нужно 8 и 7. Загибаем на левой руке три пальца (5 + 3 = 8), на правой 2 (5 + 2 = 7). Загнутых пальцев у нас пять, значит пять десятков. Теперь перемножим оставшиеся: 2 х 3 = 6. Это единицы. Всего 56.
Это лишь один из наипростейших приемов "пальцевого" умножения Их много. "На пальцах" можно оперировать числами до 10 000!
У "пальцевой" системы есть бонус: ребенок воспринимает ее как веселую игру. Занимается охотно, испытывает массу положительных эмоций и в итоге очень скоро начинает проделывать все операции в уме, без помощи пальцев.
Делить так же можно при помощи пальцев, но это немного сложнее. Программисты до сих пор пользуются руками, чтобы перевести числа из десятичной системы в двоичную - это удобнее и гораздо быстрее, чем на компьютере. Но в рамках школьной программы научиться быстро делить можно даже без пальцев, в уме.
Допустим, нужно решить пример 91: 13. Столбик? Нет нужды пачкать бумагу. Делимое заканчивается на единицу. А делитель - на тройку. Что там в таблице умножения самое первое, где задействована тройка, а заканчивается на единицу? 3 х 7 = 21. Семерка! Вот и все, мы ее поймали. Надо 84: 14. Вспоминаем таблицу: 6 х 4 = 24. Ответ - 6. Просто? Еще бы!
Волшебство числа
Большинство приемов быстрого счета похоже на фокусы. Взять хотя бы известнейший пример умножения на 11. Чтобы, например, 32 х 11 нужно написать 3 и 2 по краям, а в середину поставить их сумму: 352.
Для умножения двузначного числа на 101 надо просто записать число два раза. 34 х 101 = 3434.
Для умножения числа на 4 нужно два раза умножить его на 2. Для деления - дважды разделить на 2.
Много остроумных и, главное, быстрых приемов помогают возводить число в степень, извлекать квадратный корень. Знаменитые "30 приемов Перельмана" для математически мыслящих людей будут покруче шоу Коперфильда, потому что они еще и ПОНИМАЮТ что происходит, и как оно происходит. Ну а остальные могут просто наслаждаться красивым фокусом. Например, нужно перемножить 45 на 37. Напишем числа на листе и разделим их вертикальной чертой. Левое число делим на 2, отбрасывая остаток, пока не получим единицу. Правое - умножаем до тех пор, пока число строчек в столбике не сравняется. Затем вычеркиваем из ПРАВОГО столбика все те числа, напротив которых в ЛЕВОМ столбике получился четный результат. Оставшиеся числа из правого столбика складываем. Получится 1665. Перемножьте числа привычным способом. Ответ сойдется.
"Зарядка" для ума
Приемы быстрого счета способны здорово облегчить жизнь и ребенку в школе, и маме в магазине или на кухне, и папе на производстве или в офисе. Но мы предпочитаем калькулятор. Почему? Не любим напрягаться. Нам тяжело держать числа, даже двухзначные, в голове. Почему-то не держатся.
Попробуйте выйти на середину комнаты и сесть на шпагат. Почему-то "не сажается", да? А гимнаст делает это совершенно спокойно, не напрягаясь. Тренироваться нужно!
Самый простой способ тренировки и, одновременно, разминки мозга: устный счет вслух (обязательно!) через число до ста и обратно. Утром, стоя под душем, или готовя завтрак, посчитайте: 2.. 4.. 6.. 100... 98.. 96. Можно считать через три, через восемь - главное, делать это вслух. Всего через пару недель регулярных занятий вы удивитесь, насколько ПРОЩЕ станет обращаться с числами.
