2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.
Метод Крамера.
Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).
Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано:
Решить методом Крамера систему
Относительно переменных х
и у
.
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :
Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и 
.
Пример 1:
Решить систему уравнений:
относительно переменных х
и у
.
Решение:
Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:
Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:
Применим формулы Крамера
и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание:
Этим методом можно решать системы и большей размерности.
Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.
Пример 2 (бесконечное количество решений):
Решить систему уравнений:
относительно переменных х
и у
.
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:
Решение систем методом подстановки. 
Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так: 
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.
и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ:
общее решение
Частные решения:
Пример 3 (решений нет, система несовместна):
Решить систему уравнений:
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:
Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки
Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ:
решений нет
Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.
Теорема 1
Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$
В чем заключается метод Крамера
Суть метода Крамера в следующем:
- Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
- Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
- Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ - номер крайнего справа столбца.
- После того как найдены все детерминанты $D_1$...$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.
Приёмы для вычисления определителя матрицы
Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:
- Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей - со знаком минус.
Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера
- С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
- При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.
Решение систем уравнений методом Крамера
Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:
$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$
Отобразим её в расширенной форме для удобства:
$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$
Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:
$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:
$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac {D_1}{D}$
$x_2 = \frac {D_2}{D}$
Пример 1
Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.
Решите систему уравнений:
$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end{cases}$
Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:
$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$
А теперь три других детерминанта:
$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296$
$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$
$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60$
Найдём искомые величины:
$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$
$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = - 1 \frac {11} {16}$
$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$
Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера - весьма полезный навык.
Системы линейных алгебраических уравнений
Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:
Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!
Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.
Такую систему можно переписать в матричном виде
Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.
Решение СЛАУ методом Крамера
Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.
Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:
Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.
В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:
Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .
А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!
С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).
Теорема Крамера.
Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :
где Δ - определитель матрицы системы ,
Δ i - определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.
Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.
Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.
Описание метода Крамера.
Есть система уравнений:
Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.
Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:
Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:
,
,
Решаем систему по формулам Крамера :
Примеры решения систем уравнений методом Крамера.
Пример 1 .
Дана система:
Решим ее методом Крамера.
Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:
Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:
Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:
