Мерная шкала. Виды измерительных шкал

Рациональное использование информации, получаемой от экспертов, возможно при условии преобразования ее в форму, удобную для дальнейшего анализа, направленного на подготовку и принятие решений.

Если эксперт в состоянии сравнить и оценить возможные варианты действий, приписав каждому из них определенное число, будем считать, что он обладает определенной системой предпочтений.

В зависимости от того, по какой шкале могут быть заданы эти предпочтения, экспертные оценки содержат больший или меньший объем информации и обладают различной способностью к математической формализации.

В жизни мы привыкли пользоваться количественными показателями, выраженными в разных измерительных шкалах. Можно записать, что вес тела равен 5 кг, но можно использовать и другую шкалу – 5000 г или 0,005 т, но можно указать интервал: «вес тела больше 3 кг и меньше 10 кг» или «вес тела в пределах первого десятка». Вместо «750 мм ртутного столба» можно записать «1000 гектопаскалей», а можно указать, что «атмосферное давление несколько выше нормы». «451 градус по Фаренгейту» (температура возгорания бумаги) – это «232,78 градусов Цельсия» или «505,93 градусов Кельвина». Понятия «шкала измерения», «тип шкалы», «допустимые преобразования» играют важную роль в теории измерений.

Рассмотрим основные логические аксиомы, используемые в экспертных методах при формализации информации с помощью различных шкал.

5.1. Дихотомическая (номинальная) шкала.

Если различные градации шкалы измерения показателя нельзя упорядочить по условию «больше – меньше» («лучше – хуже») или расположить в порядке появления во времени, то такая совокупность градаций образует шкалу наименований. Шкалу наименований имеют показатели, градации которых могут быть заданы только в виде перечня. В частности, шкала, содержащая всего две градации – «есть» и «нет» (дихотомическая) – является шкалой наименований. Характеристикой центральной тенденции (среднего) на шкале наименований может служить «мода» – значение показателя, которое указано наибольшим числом экспертов, или же наибольшее число раз встретилось в проведённом статистическом исследовании (если речь идёт, например, о видах дефектов продукции). Для небольшого числа оценок эта характеристика также теряет смысл, и тогда центральную тенденцию характеризовать невозможно. Если в распределении двум (или нескольким) каким-либо значениям показателя соответствуют приблизительно одинаковые числа оценок, распределение называют бимодальным (полимодальным).

При использовании номинальных шкал исследуемые объекты можно опознавать на основе трех аксиом идентификации:

1) Х либо есть Y , либо есть не Y ;

2) если Х есть Y , то Y есть Х ;

3) если Х есть Y , и Y есть Z , то Х есть Z .

Дихотомическая шкала позволяет отметить, относится ли данный объект к интересующей нас группе или нет.

Пример. Две сравниваемые переменные X (семейное положение) и Y (отчисление из института) измеряются в дихотомической шкале (табл.22).

Для вычисления коэффициента корреляции Пирсона составляется таблица сопряжённости (табл.23).

Таблица 22

Вычисление коэффициента корреляции Пирсона для дихотомических данных проводится по формуле

(5.1)

Напомним, что при случайные величины и являются независимыми, а при связь между ними линейная. Так как в нашем случае , то корреляция между величинами существует, но непрямая ().

5.2. Шкала наименований.

Шкала наименований (номинальная), в которой числа используются исключительно с целью обозначения объектов. Кроме сравнения на совпадение, любые арифметические действия над числами, обозначающими имена объектов, бессмысленны. С помощью шкалы наименований часто отмечают, присутствует или отсутствует какой-то признак в объекте.

Аксиомы тождества:

(5.2)

Допустимые операции:

– символ Кронекера ;

– число наблюдений го класса; ;

– относительная частота класса ;

– мода ;

– коэффициент согласия (конкордации);

– проверка по тесту .

Примеры номинальных шкал: названия болезней; поч­товые, телефонные, автомобильные индексы регионов и стран; пол человека.

5.3. Шкала порядков (ранговые шкалы).

В случаях, когда исследуемые объекты можно в результате сравнения расположить в определенной последовательности с учетом какого-либо существенного фактора (факторов), используются порядковые шкалы, позволяющие устанавливать равноценность или доминирование.

Шкала порядков (ранговая шкала), при измерении в которой мы получаем информацию лишь о том, в каком порядке объекты следуют друг за другом по какому-то свойству. Примером могут служить шкалы, по которым измеряются твёрдость материалов, «похожесть» объектов. К этой группе шкал относится большинство шкал, используемых в социологических и психологических исследованиях. Частным случаем шкал порядка являются балльные шкалы, используемые в практике спортивного судейства или оценок знаний в школе. Если, скажем, по некоторой дисциплине два студента имеют оценки «отлично» и «удовлетворительно», то можно лишь утверждать, что уровень подготовки по этой дисциплине первого студента выше (больше), чем второго, но нельзя сказать, на сколько или во сколько раз больше.

Оказывается, что в таких случаях проблема оценки тесноты связи разрешима, если упорядочить, или ранжировать, объекты анализа по степени выраженности измеряемых признаков. При этом каждому объекту присваивается определенный номер, называемый рангом. Например, объекту с наименьшим проявлением (значением) признака присваивается ранг 1, следующему за ним – ранг 2 и т.д. Объекты можно располагать и в порядке убывания проявления (значений) признака. Если объекты ранжированы по двум признакам, то имеется возможность оценить тесноту связи между признаками, основываясь на рангах, т.е. тесноту ранговой корреляции.

В дополнение к (5.2) в этой шкале необходимо добавить следующие аксиомы - аксиомы упорядоченности :

Существует ещё шкала частичного порядка . «Частичный порядок» часто встречается при оценке субъективных предпочтений.

Примеры шкалы порядков :

1) Более длинный отпуск предпочтительнее уменьшения рабочего дня на полчаса. Уменьшение рабочего дня на полчаса предпочтительнее повышения зарплаты на 500 р. Но необязательно более длинный отпуск предпочтительнее повышения зарплаты на 500 р.

2) Что лучше: клетчатые шарфы или семискоростные миксеры; чтение литературы или прослушивание музыкальных записей.

3) Шкала твёрдости по Моору (1811 г.): из двух минералов твёрже тот, который оставляет на другом царапины или вмятины при достаточно сильном соприкосновении. Эталоны: 1 – тальк, 2 – гипс, 3 – кальций, 4 – флюорит, 5 – апатит, 6 – ортоклаз, 7 – кварц, 8 – топаз, 9 – корунд, 10 – алмаз.

4) Шкала силы ветра по Бофорту (1806 г.). Сила ветра определяется по волнению моря: 0 – штиль, 4 – умеренный ветер, 6 – сильный ветер, 10 – шторм (буря), 12 – ураган.

5) Балльные шкалы оценки знаний учащихся.

Отметим, что отношение порядка ничего не говорит о дистанции между сравниваемыми классами. Поэтому порядковые экспериментальные данные, даже если они выражены числами, нельзя рассматривать как числа, например, нельзя вычислять выборочное среднее.

Допустимые операции:

– ранг объёма

, где .

(5.3)

Ранги можно присваивать по старшему в группе одинаковых, по среднему, либо случайным образом.

– выборочная медиана, т.е. наблюдение с рангом , ближайшее к ;

– выборочные квантили любого уровня , т.е. наблюдение с рангом , ближайшим к ;

– коэффициенты корреляции: - Спирмена, - Кендалла.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена находится по формуле:

.

(5.4)

где и ранги го объекта по переменным и , число пар наблюдений.

Если ранги всех объектов равны (), то , т.е. при полной прямой связи . При полной обратной связи, когда ранги объектов по двум переменным расположены в обратном порядке, можно показать, что и по формуле (5.4) . Во всех остальных случаях .

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла находится по формуле:

.

(5.5)

Для определения необходимо ранжировать объекты по одной переменной в порядке возрастания рангов и определить соответствующие их ранги () по другой переменной. Статистика равна общему числу инверсий (нарушений порядка, когда большее число стоит слева от меньшего) в ранговой последовательности (ранжировке ) . При полном совпадении двух ранжировок имеем и ; при полной противоположности можно показать, что и . Во всех остальных случаях .

5.4. Шкала интервалов.

Шкала интервалов, в которой можно менять как начало отсчёта, так и единицы измерения. Если упорядочивание объектов можно выполнить настолько точно, что известны расстояния между любыми двумя из них, то измерение оказывается значительно сильнее, чем в шкале порядка. Естественно выражать все измерения в единицах, хотя и произвольных, но одинаковых по всей длине шкалы. Следствием такой равномерности шкал этого класса является независимость отношения двух интервалов от того, в какой из шкал эти интервалы измерены (т.е. какова единица длины и какое значение принято за начало отсчёта).

Если в одной шкале измеренные интервалы равны и , а во второй – и , то справедливо соотношение: .

В этой шкале только интервалы могут иметь смысл настоящих чисел, допускающих математические действия с ними. Примерами шкал интервалов могут быть шкалы для измерения температуры (Цельсия, Кельвина (К = 273 + С), Фаренгейта (F = 5/9C + 32)), давления, промежутков времени и т.п.

Допустимые операции – определение интервала между двумя измерениями. Над интервалами – любые арифметические или статистические операции.

5.5. Шкала отношений.

Шкала отношений, в которой начало отсчёта неизменно, а единицы измерения можно изменять (масштабировать). К предыдущим пяти аксиомам необходимо добавить еще четыре.

Аксиомы аддитивности :

(5.6)

Измерения в этой шкале являются полноправными числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия. Этот класс шкал обладает следующей особенностью: отношение двух наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в какой из шкал произведены измерения, т.е. .

Примерами шкал отношений являются шкалы для измерения веса, длины и т.п.

5.6. Абсолютная шкала.

Абсолютная шкала, результатом измерения в которой является число, выражающее количество элементов в множестве. В данной шкале начало отсчёта и единицы измерения неизменны. Числа, полученные по такой шкале, можно складывать, вычитать, делить, умножать – все эти действия будут осмысленными. Из перечисленных шкал абсолютная шкала является самой «сильной», а номинальная – самой «слабой». Действительно, из абсолютных данных можно узнать всё то, что могут дать любые другие шкалы, но не наоборот.

Пример. Из того, что в группе А – 15 студентов, в группе В – 20, а в группе С – 30, можно узнать:

в А студентов в 2 раза меньше, чем в С (шкала отношений);

в В студентов на 10 человек меньше, чем в С (шкала интервалов);

в А студентов просто меньше, чем в В и С (шкала порядка);

в А, В, С студентов не одно и то же количество (шкала наименований).

Использовать только абсолютные шкалы не всегда целесообразно. Для получения информации о свойствах, измеряемых в сильных шкалах, требуются более совершенные (сложные, дорогие) измерительные приборы и процедуры. К тому же, таких приборов и процедур для измерения многих характеристик просто нет. Например, можно выяснить, чего данному человеку хочется больше – чая или кофе, но определить, насколько больше или во сколько раз, затруднительно.

В зависимости от существа или важности того или иного фактора на этапе подготовки и принятия решений могут быть использованы различные шкалы. В таблице приведены типы шкал и их основные характеристики.

Шкалы порядка позволяют не только разбивать объекты на классы, но и упорядочивать классы по возрастанию (убыванию) изучаемого признака: об объектах, отнесенных к одному из классов, известно, но только то, что они тождественны друг другу, но также, что они обладают измеряемым свойством в большей или меньшей степени, чем объекты из других классов. Но при этом порядковые шкалы не могут ответить на вопрос, на сколько (во сколько раз), это свойство выражено сильнее у объектов из одного класса, чем у объектов из другого класса. Примерами шкал порядка могут служить уровень образования, военные и академические звания, тип поселения (большой - средний - малый город - село), некоторые естественно научные шкалы (твердость минералов, сила шторма). Так, можно сказать, что 6-балльный шторм заведомо сильнее, чем 4-балльный, но нельзя определить, насколько он сильнее; выпускник университета имеет более высокий образовательный уровень, чем выпускник средней школы, но разница в уровне образования не поддается непосредственному измерению Упорядоченные классы достаточно часто нумеруют в порядке возрастания (убывания) измеряемого признака. Однако в силу того, что различия в значении признака точному измерению не поддаются, к шкалам порядка, также как к номинальным шкалам, действия арифметики не применяют. Исключение составляют оценочные шкалы, при использовании которых объект получает (или сам выставляет) оценки, исходя из определенного числа баллов. К таким шкалам относятся, например, школьные оценки, для которых считается вполне допустимым рассчитывать, например, средний балл по аттестату зрелости. Строго говоря, подобные шкалы являются частным случаем шкалы порядка, так как нельзя определить, на сколько знания "отличника" больше, чем знания "троечника", но в силу некоторых теоретических соображений с ними часто обращаются, как со шкалами более высокого ранга - шкалами интервалов. Другим частным случаем шкалы порядка является ранговая шкала, применяемая обычно в тех случаях, когда признак заведомо не поддается объективному измерению (например, красота или степень неприязни), или когда порядок объектов более важен, чем точная величина различий между ними (места, занятые в спортивных соревнованиях). В таких случаях эксперту иногда предлагают проранжировать по определенному критерию некий список объектов, качеств, мотивов и т.п.

Числа, присвоенные объектам в этой шкале будут говорить о степени выраженности измеряемого свойства у этих объектов, но, при этом, равные разности чисел не будут означать равных разностей в количествах измеряемых свойств. В зависимости от желания исследователя большее число может означать большую степень выраженности измеряемого свойства (как в шкале твердости минералов) или меньшую (как в таблице результатов спортивных соревнований), но в любом случае, между числами и соответствующими им объектами сохраняется отношение порядка. Шкала порядка задается положительными числами, и чисел в этой шкале может быть столько, сколько существует измеряемых объектов. Примеры шкал порядка в психологии: рейтинг испытуемых по какому-либо признаку, результаты экспертной оценки испытуемых и т.д.

Если можно установить порядок следования психологических объектов в соответствии с выраженностью какого-то свойства, то используется порядковая шкала.

Порядковая шкала образуется, если на множестве реализовано одно бинарное отношение -- порядок (отношения "больше" и "меньше"). Построение шкалы порядка -- процедура более сложная, чем создание шкалы наименований. Она позволяет зафиксировать ранг, или место, каждого значения переменной по отношению к другим значениям. Этот ранг может быть результатом установления порядка между какими-то стимулами или их атрибутами самим испытуемым (первичный показатель методик ранжирования, или рейтинговых процедур), но может и устанавливаться экспериментатором в качестве вторичного показателя (например, при ранжировке частот положительных ответов испытуемых на вопросы, относящиеся к разным темам).

Классы эквивалентности, выделенные при помощи шкалы наименований, могут быть упорядочены по некоторому основанию. Различают шкалу строгого порядка (строгая упорядоченность) и шкалу слабого порядка (слабая упорядоченность). В первом случае на элементах множества реализуются отношения "больше" и "меньше", а во втором -- "не больше или равно" и "меньше или равно".

Значения величин можно заменять квадратами, логарифмами, нормализовать и т.д. При таких преобразованиях значений величин, определенных по шкале порядка, место объектов на шкале не изменяется, т.е. не происходит инверсий.

Еще Стивенс высказывал точку зрения, что результаты большинства психологических измерений в лучшем случае соответствуют лишь шкалам порядка.

Шкалы порядка широко используются в психологии познавательных процессов, экспериментальной психосемантике, социальной психологии: ранжирование, оценивание, в том числе педагогическое, дают порядковые шкалы. Классическим примером использования порядковых шкал является тестирование личностных черт, а также способностей. Большинство же специалистов в области тестирования интеллекта полагают, что процедура измерения этого свойства позволяет использовать интервальную шкалу и даже шкалу отношений.

Как бы то ни было, эта шкала позволяет ввести линейную упорядоченность объектов на некоторой оси признака. Тем самым вводится важнейшее понятие -- измеряемое свойство, или линейное свойство, тогда как шкала наименований использует "вырожденный" вариант интерпретации понятия "свойство": "точечное" свойство (свойство есть -- свойства нет).

В порядковой (ранговой) шкале должно быть не меньше трех классов (групп): например, ответы на опросник: «да», «не знаю», «нет»; или -- низкий, средний, высокий; и т.п., с тем расчетом, чтобы можно было расставить измеренные признаки по порядку. Именно поэтому эта шкала и называется порядковой, или ранговой, шкалой.

От классов просто перейти к числам, если считать, что низший класс получает ранг (код или цифру) 1, средний -- 2, высший -- 3 (или наоборот). Чем больше число классов разбиений всей экспериментальной совокупности, тем шире возможности статистической обработки полученных данных и проверки статистических гипотез.

При кодировании порядковых переменных им можно приписывать любые цифры (коды), но в этих кодах (цифрах) обязательно должен сохраняться порядок, или, иначе говоря, каждая последующая цифра должна быть больше (или меньше) предыдущей.

Для интерпретации данных, полученных посредством порядковой шкалы, можно использовать более широкий спектр статистических мер (в дополнение к тем, которые допустимы для шкалы наименований).

В качестве характеристики центральной тенденции можно использовать медиану, а в качестве характеристики разброса -- процентили. Для установления связи двух измерений допустима порядковая корреляция (т-Кэнделла и р-Спирмена).

Числовые значения порядковой шкалы нельзя складывать, вычитать, делить и умножать. (2, 3).

Рассмотрим основные типы шкал измерения и соответствующие им группы допустимых преобразований.

Все шкалы делят на две группы – шкалы качественных признаков и шкалы количественных признаков .

К шкалам качественных признаков относятся номинальная и порядковая шкалы.

Шкала наименований (номинальная шкала). Измерения в этой шкале призваны для того чтобы различать объекты. То есть фиксируется только два отношения: ”равно” “не равно”. Единственно допустимой операцией с измерениями в номинальной шкале является счет. Так фиксируются такие характеристики, как собственные имена людей, национальность, название населенных пунктов. С такими измерениями недопустимы математические операции такие как сложение или умножения. Не имеет смысла складывать, например, номера телефонов.

Порядковая шкала это шкала рангов, в которой числа присваиваются объектам для отражения относительной выраженности некоторых характеристик у тех или иных объектов. Простейшим примером являются оценки знаний учащихся. В этой шкале можно задать профессиональный статус. Таблица данных содержит информацию только трех эмпирических отношениях: ”<, >, =”. Допустимыми преобразованиями для данного типа шкал являются все монотонные преобразования, т.е. такие, которые не нарушают порядка следования значений измеренных величин. Такие данные не содержат информации на сколько отличается один ранг от другого.

Как показали многочисленные опыты, человек более правильно (и с меньшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного, например, сравнительного, характера, чем количественного. Так, ему легче сказать, какая из двух гирь тяжелее, чем указать их примерный вес в граммах.

К количественным шкалам относятся: “шкала интервалов”, “шкала отношений”, “абсолютная шкала”.

Интервальная шкала это числовая шкала, в которой количественно равные промежутки отображают. Интервальная шкала содержит не только всю информацию, заложенную в порядковой шкале, но позволяет сравнить различия между ними. Разница между двумя смежными значениями шкалы идентична разнице между двумя любыми другими смежными значениями интервальной шкалы. Между значениями интервальной шкалы существует постоянный или равный интервал. Интервальная шкала используется, например, при измерении температуры.

В интервальной шкале расположение точки отсчета не фиксируется. Точка начала отсчета и единицы измерения выбираются произвольно. Любое линейное преобразование сохраняет свойства шкалы. Здесь x – первоначальное значение шкалы, y – преобразованное значение шкалы, b – положительная константа.

В шкале отношений по сравнению с интервальной шкалой определена еще и точка начала отсчета. Общеизвестными примерами измерения в этой шкале являются рост, вес, количество денег. Относительные шкалы допускают только преобразование . Один и тот же эмпирический смысл имеют значения: 12 кг, 12 000 г, 0,012 т.

Абсолютная шкала допускает преобразование только в форме тождества . Этот тип шкалы удобен для записи количества элементов в некотором конечном множестве. Если пересчитав количество яблок, один исследователь запишет в таблицу данных значение 6, а другой VI, то достаточно знать, что 6 означает тоже самое, что и VI, то есть 6=VI.

Относительная информативность измерений в различных шкалах повышается в порядке рассмотрения шкал. Различные шкалы требуют разработки своих методов анализа. При совместном рассмотрении признаков, измеренных в различных шкалах, используются методы преобразования измерительных шкал. Преобразовывать даны из одной шкалы в другую можно только с понижением мощности шкалы.

Шкалы измерений

В практической деятельности необходимо проводить измерения различных величин, характеризующих свойства тел, веществ, явлений и процессов- Как было показано в предыдущих разделах, некоторые свойства проявляются только качественно, другие - количественно. Разнообразные проявления (количественные или ка­чественные) любого свойства образуют множества, отображения элементов которых на упорядоченное множество чисел или в более общем случае условных знаков образуют шкалы измерения этих свойств. Шкала измерений количественного свойства является шкалой ФВ. Шкала физической величины - это упорядоченная последовательность значений ФВ, принятая по соглашению на ос­новании результатов точных измерений. Термины и определения теории шкал измерений изложены в документе МИ 2365-96.

В соответствии с логической структурой проявления свойств различают пять основных типов шкал измерений.

1. Шкала наименований (шкала классификации). Такие шкалы используются для классификации эмпирических объектов, свой­ства которых проявляются только в отношении эквивалентности. Эти свойства нельзя считать физическими величинами, поэтому шкалы такого вида не являются шкалами ФВ. Это самый простой тип шкал, основанный на приписывании качественным свойствам объектов чисел, играющих роль имен.

В шкалах наименований, в которых отнесение отражаемого свойства к тому или иному классу эквивалентности осуществляется с использованием органов чувств человека, наиболее адекватен результат, выбранный большинством экспертов. При этом большое значение имеет правильный выбор классов эквивалентной шкалы - они должны надежно различаться наблюдателями, экспертами, оценивающими данное свойство. Нумерация объектов по шкале наименований осуществляется по принципу: "не приписывай одну и ту же цифру разным объектам". Числа, приписанные объектам, могут быть использованы для определения вероятности или частоты появления данного объекта, но их нельзя использовать для суммирования и других математических операций.

Поскольку данные шкалы характеризуются только отношениями эквивалентности, то в них отсутствует понятия нуля, "больше" или "меньше" и единицы измерения. Примером шкал наименований являются широко распространенные атласы цветов, предназначенные для идентификации цвета.

2. Шкала порядка (шкала рангов). Если свойство данного эмпирического объекта проявляет себя в отношении эквивалентности и порядка по возрастанию или убыванию количественного проявления свойства, то для него может быть построена шкала порядка. Она является монотонно возрастающей или убывающей и позволяет установить отношение больше/меньше между величинами, характеризующими указанное свойство. В шкалах порядка существует или не существует нуль, но принципиально нельзя ввести единицы измерения, так как для них не установлено отношение пропорциональности и соответственно нет возможности судить во сколько раз больше или меньше конкретные проявления свойства.

В случаях, когда уровень познания явления не позволяет точно установить отношения, существующие между величинами данной характеристики, либо применение шкалы удобно и достаточно для практики, используют условные (эмпирические) шкалы порядка. Условная шкала - это шкала ФВ, исходные значения которой выражены в условных единицах. Например, шкала вязкости Энглера, 12-бальная шкала Бофорта для силы морского ветра.

Широкое распространение получили шкалы порядка с нанесенными на них реперными точками. К таким шкалам, например, относится шкала Мооса для определения твердости минералов, которая содержит 10 опорных (реперных) минералов с различными условными числами твердости: тальк - 1; гипс - 2; кальций - 3; флюорит - 4; апатит - 5; ортоклаз - 6; кварц - 7; топаз - 8; корунд - 9; алмаз - 10. Отнесение минерала к той или иной градации твердости осуществляется на основании эксперимента, который состоит в том, что испытуемый материал царапается опорным. Если после царапанья испытуемого минерала кварцем (7) на нем остается след, а после ортоклаза (6) - не остается, то твердость испытуемого материала составляет более 6, но менее 7.-Более точного ответа в этом случае дать невозможно.

В условных шкалах одинаковым интервалам между размерами данной величины не соответствуют одинаковые размерности чисел, отображающих размеры. С помощью этих чисел можно найти вероятности, моды, медианы, квантили, однако их нельзя использовать для суммирования, умножения и других математических операций.

Определение значения величин при помощи шкал порядка нельзя считать измерением, так как на этих шкалах не могут быть введены единицы измерения. Операцию по приписыванию числа требуемой величине следует считать оцениванием . Оценивание по шкалам порядка является неоднозначным и весьма условным, о чем свидетельствует рассмотренный пример.

3. Шкала интервалов (шкала разностей). Эти шкалы являются дальнейшим развитием шкал порядка и применяются для объ­ектов, свойства которых удовлетворяют отношениям эквива­лентности, порядка и аддитивности. Шкала интервалов состоит из одинаковых интервалов, имеет единицу измерения и произвольно выбранное начало - нулевую точку. К таким шкалам относится летоисчисление по различным календарям, в которых за начало отсчета принято либо сотворение мира, либо рождество Христово и т.д. Температурные шкалы Цельсия, Фаренгейта и Реомюра также являются шкалами интервалов.

На шкале интервалов определены действия сложения и вычитания интервалов. Действительно, по шкале времени интервалы можно суммировать или вычитать и сравнивать, во сколько раз один интервал больше другого, но складывать даты каких-либо событий просто бессмысленно.

Шкала интервалов величины Q описывается уравнением

где q - числовое значение величины; - начало отсчета шкалы; - единица рассматриваемой величины. Такая шкала полностью определяется заданием начала отсчета шкалы и единицы данной величины .

Задать шкалу практически можно двумя путями. При первом из них выбираются два значения и величины, которые относительно просто реализованы физически. Эти значения называются опорными точками, или основными реперами, а интервал () - основным интервалом. Точка принимается за начало отсчета, а величина за единицу Q. При этом n выбирается таким, чтобы было целой величиной.

Перевод одной шкалы интервалов , в другую осуществляется по формуле

(2.2)

Числовое значение интервала между началами отсчета по рассматриваемым шкалам, измеренного в градусах Фаренгейта ( , равно 32. Переход от температуры по шкале Фаренгейта к температуре по шкале Цельсия производится по формуле .

При втором пути задания шкалы единица воспроизводится не­посредственно как интервал, его некоторая доля или некоторое число интервалов размеров данной величины, а начало отсчета выбирают каждый раз по-разному в зависимости от конкретных условий изучаемого явления. Пример такого подхода - шкала времени, в которой 1 с = 9 192 631 770 периодов излучения, соответствующих переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. За начало отсчета принимается начало изучаемого явления.

4. Шкала отношений . Эти шкалы описывают свойства эмпирических объектов, которые удовлетворяют отношениям эквивалентности, порядка и аддитивности (шкалы второго рода -аддитивные), а в ряде случаев и пропорциональности (шкалы первого рода - пропорциональные). Их примерами являются шкала массы (второго рода), термодинамической температуры (первого рода).

В шкалах отношений существует однозначный естественный критерий нулевого количественного проявления свойства и единица измерений, установленная по соглашению. С формальной точки зрения шкала отношений является шкалой интервалов с естествен­ным началом отсчета. К значениям, полученным по этой шкале, применимы все арифметические действия, что имеет важное значение при измерении ФВ.

Шкалы отношений - самые совершенные. Они описываются уравнением Q = q[Q], где Q - ФВ, для которой строится шкала, [Q] - ее единица измерения, q - числовое значение ФВ. Переход от одной шкалы отношений к другой происходит в соответствии с уравнением .

5. Абсолютные шкалы. Некоторые авторы используют понятие абсолютных шкал, под которыми понимают шкалы, обладающие всеми признаками шкал отношений, но дополнительно имеющие естественное однозначное определение единицы измерения и не зависящие от принятой системы единиц измерения. Такие шкалы соответствуют относительным величинам: коэффициенту усиления, ослабления и др. Для образования многих производных единиц в системе СИ используются безразмерные и счетные едини­цы абсолютных шкал.

Отметим, что шкалы наименований и порядка называют неметрическими (концептуальными), а шкалы интервалов и отношений - метрическими (материальными). Абсолютные и метрические шкалы относятся к разряду линейных. Практическая реа­лизация шкал измерений осуществляется путем стандартизации как самих шкал и единиц измерений, так и, в необходимых случаях, способов и условий их однозначного

Виды и методы измерений

Виды и методы измерений.

Измерения как экспериментальные процедуры определения значений измеряемых величин весьма разнообразны, что объясняется множеством измеряемых величин, различным характером их изменения во времени, различными требованиями и точности измерений и т.д.

Измерения в зависимости от способа обработки экспериментальных данных для нахождения результата относят к прямым, косвенным, совместным и совокупным.

Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных в результате выполнения измерения.

(Пример – измерение вольтметром напряжения источника).

Косвенное измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям.

(Например: сопротивление резистора R находят из уравнения R=U/I, в которое подставляют измеренные значения падения напряжения U на резисторе и тока I через него).

Совместные измерения – одновременные изменения нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними. При этом решают систему уравнений.

(Например: определяют зависимость сопротивления резистора от температуры R t = R 0 (1+At+Bt 2); измеряя сопротивление резистора при трех различных температурах, составляют систему из трех уравнений, из которых находят параметры R 0 , A и B зависимости).

Совокупные измерения – одновременные измерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин находят решением системы уравнений, составленных из результатов прямых измерений различных сочетаний этих величин. (Например: измерение сопротивлений резисторов, соединенных треугольником, путем измерений сопротивлений между различными вершинами треугольника; по результатам трех измерений определяют сопротивления резисторов).

Взаимодействие средств измерений с объектом основано на физических явлениях, совокупность которых составляет принцип измерений, а совокупность приемов использования принципа и средств измерений называют методом измерений .

Числовое значение измеряемой величины получается путем ее сравнения с известной величиной, воспроизводимой определенным видом средств измерений – мерой.

В зависимости от способа применения меры известной величины различают метод непосредственной оценки и методы сравнения с мерой.

При методе непосредственной оценки значение измеряемой величины определяют непосредственно по отсчетному устройству измерительного прибора прямого преобразования, шкала которого заранее была градуирована с помощью многозначной меры, воспроизводящей известные значения измеряемой величины.

(Пример: измерение силы тока с помощью амперметра).

Методы сравнения с мерой – методы, при которых производится сравнение измеряемой величины и величины воспроизводимой мерой.

Сравнение может быть непосредственным или опосредственным через другие величины, однозначно связанные с первыми.

Отличительной чертой методов сравнения является непосредственное участие в процессе измерения меры известной величины, однородной с измеряемой.

Группа методов сравнения с мерой включает в себя следующие методы: нулевой , дифференциальный , замещения и совпадения .

При нулевом методе измерения разность измеряемой величины и известной величины или разность эффектов, производимых измеряемой и известной величинами, сводится в процессе измерения к нулю, что фиксируется высокочувствительным прибором – нуль-индикатором.

При высокой точности мер, воспроизводящих известную величину, и высокой чувствительности нуль–индикатора может быть достигнута высокая точность измерений.

(Пример: измерение сопротивления резистора с помощью четырехплечевого моста, в котором падение напряжения на резисторе с неизвестным сопротивлением уравновешивается падением напряжения на резисторе известного сопротивления).

При дифференциальном методе разность измеряемой величины и величины известной, воспроизводимой мерой, измеряется с помощью измерительного прибора.

Неизвестная величина определяется по известной величине и измеренной разности. В этом случае уравновешивание измеряемой величины известной величиной производится не полностью и в этом заключается отличие дифференциального метода от нулевого. Дифференциальный метод также может обеспечить высокою точность измерения, если известная величина воспроизводится с высокой точностью и разность между ней и неизвестной величиной мала.

Пример: измерение напряжения U x постоянного тока с помощью дискретного делителя R напряжения U и вольтметра V

Рис.1.1. Схема измерения напряжения дифференциальным методом.

Неизвестное напряжение U x =U 0 + U x , где U 0 – известное напряжение, U x – измеренная разность напряжений.

При методе замещения производится поочередное подключение на вход прибора измеряемой величины и известной величины и по двум показаниям прибора оценивается значение неизвестной величины. Наиболее высокая точность измерения получается в том случае, когда в результате подбора известной величины прибор дает тот же выходной сигнал, что и при неизвестной величине.

Пример : измерение малого напряжения с помощью высокочувствительного гальванометра, к которому сначала подключают источник неизвестного напряжения и определяют отключение указателя, а затем с помощью регулируемого источника известного напряжения добываются того же отклонения указателя. При этом известное напряжение равно известному.

При методе совпадения измеряют разность между измеряемой величиной и величиной, воспроизводимой мерой, используя совпадение отметок шкал или периодических сигналов.

Пример : измерение частоты вращения детали с помощью мигающей лампы стробоскопа: наблюдая положение метки на вращающейся детали в моменты вспышек лампы, но частота вспышек и смещению метки определяют частоту вращения детали.

Погрешность измерений. Основные понятия и виды погрешностей

. Основные понятия и виды погрешностей.

Процедура измерений состоит из следующих основных этапов:

- принятые модели объекта измерения;

- выбор метода измерений;

- выбор средств измерений;

- проведение эксперимента для получения численного значения результата измерения.

Различные недостатки, присуще этим этапам, приводят к тому, что результат измерения отличается от истинного значения измеряемой величины.

Причины возникновения погрешности могут быть различными.

Измерительные преобразования осуществляются с использованием различных физических явлений, на основании которых можно установить соотношение между измеряемой величиной объекта исследования и выходным сигналом средства измерений, по которому оценивается результат измерения.

Точно установить это соотношение никогда не удается вследствие недостаточной изученности объекта исследования и неадекватности его принимаемой модели, невозможности точного учета влияния внешних факторов, недостаточной разработанности теории физических явлений, положенных в основу измерения, использования простых, но приближенных аналитических зависимостей вместо более точных, но сложных и т.д.

Понятие "погрешность" - одно из центральных в метрологии, где используются понятия "погрешность результата измерения" и "погрешность средства измерения". Погрешность результата из­мерения - это разница между результатом измерения X и истин­ным (или действительным) значением Q измеряемой величины:

Она указывает границы неопределенности значения измеряемой ве­личины. Погрешность средства измерения - разность между по­казанием СИ и истинным (действительным) значением измеряемой ФВ. Она характеризует точность результатов измерений, проводи­мых данным средством.

Эти два понятия во многом близки друг к другу и классифици­руются по одинаковым признакам.

По характеру проявления погрешности делятся на случайные, систематические, прогрессирующие и грубые (промахи).

Заметим, что из приведенного выше определения погрешности никак не следует, что она должна состоять из каких-либо состав­ляющих. Деление погрешности на составляющие было введено для удобства обработки результатов измерений исходя из характера их проявления. В процессе формирования метрологии было обнаруже­но, что погрешность не является постоянной величиной. Путем эле­ментарного анализа установлено, что одна ее часть проявляется как постоянная величина, а другая - изменяется непредсказуемо. Зги части назвали систематической и случайной погрешностями.

Как будет показано в разд. 4.3, изменение погрешности во вре­мени представляет собой нестационарный случайный процесс. Разделение погрешности на систематическую, прогрессирующую и слу­чайную составляющие представляет собой попытку описать раз­личные участки частотного спектра этого широкополосного про­цесса: инфранизкочастотный, низкочастотный и высокочастотный.

Случайная погрешность - составляющая погрешности измере­ния, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений одного и того же размера ФВ, прове­денных с одинаковой тщательностью в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей (рис. 4.1) не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измере­ниях одной и той же величины в виде некоторого разброса получае­мых результатов. Случайные погрешности неизбежны, неустрани­мы и всегда присутствуют в результате измерения. Описание слу­чайных погрешностей возможно только на основе теории случай­ных процессов и математической статистики.

В отличие от систематических случайные погрешности нельзя исключить из результатов измерений путем введения поправки, од­нако их можно существенно уменьшить путем увеличения числа наблюдений. Поэтому для получения результата, минимально от­личающегося от истинного значения измеряемой величины, проводят многократные измерения требуемой величины с последующей Математической обработкой экспериментальных данных.

Большое значение имеет изучение случайной погрешности как функции номера наблюдения i или соответствующего ему момента времени 1 проведения измерений, т.е. Д; = A(t.). Отдельные значе­ния погрешности являются значениями функции A(t), следователь­но, погрешность измерения есть случайная функция времени. При проведении многократных измерений получается одна реализация такой функции. Именно такая реализация показана на рис. 4.1. Повтор серии измерений даст нам другую реализацию этой функ­ции, отличающуюся от первой, и т. д. Погрешность, соответствую­щая каждому i-му измерению, является сечением случайной функ­ции A(t). В каждом сечении данной функции можно найти среднее значение, вокруг которого группируются погрешности в различ­ных реализациях. Если через полученные таким образом средние значения провести плавную кривую, то она будет характеризовать общую тенденцию изменения погрешности во времени.

Систематическая погрешность - составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же ФВ. Постоянная и пере­менная систематические погрешности показаны на рис. 4.2. Их отличительный признак заключается в том, что они могут быть предсказаны, обнаружены и благодаря этому почти полностью уст­ранены введением соответствующей поправки.

Следует отметить, что в последнее время приведенное выше оп­ределение систематической погрешности подвергается обоснован­ной критике, особенно в связи с техническими измерениями. Весь­ма аргументированно предлагается считать систематическую погрешность специфической, "вырожденной" случайной величиной (см. разд. 5.1), обладающей некоторыми, но не всеми свойствами случайной величины, изучаемой в теории вероятностей и матема­тической статистике. Ее свойства, которые необходимо учитывать при объединении составляющих погрешности, отражаются теми же характеристиками, что и свойства "настоящих" случайных величин: дисперсией (средним квадратическим отклонением) и коэффи­циентом взаимной корреляции.

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность - это непредска­зуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Впервые это понятие было введено в монографии М.Ф. Маликова "Основы метрологии" , изданной в 1949 г. Отличительные особенности прогрессирующих погрешностей:

Они могут быть скорректированы поправками только в дан­ный момент времени, а далее вновь непредсказуемо изменяются;

Изменения прогрессирующих погрешностей во времени - нестационарный случайный процесс, и поэтому в рамках хорошо раз­работанной теории стационарных случайных процессов они могут
быть описаны лишь с известными оговорками.

Понятие прогрессирующей погрешности широко используется при исследовании динамики погрешностей СИ и метрологической надежности последних.

Грубая погрешность (промах) - это случайная погрешность результата отдельного наблюдения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных ре­зультатов этого ряда. Они, как правило, возникают из-за ошибок или неправильных действий оператора (его психофизиологическо­го состояния, неверного отсчета, ошибок в записях или вычислени­ях, неправильного включения приборов или сбоев в их работе и др.). Возможной причиной возникновения промахов также могут быть кратковременные резкие изменения условий проведения из­мерений. Если промахи обнаруживаются в процессе измерений, то результаты, их содержащие, отбрасывают. Однако чаще всего про­махи выявляют только при окончательной обработке результатов измерений с помощью специальных критериев, которые рассмотре­ны в гл. 7.

По способу выражения , различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности.

Абсолютная погрешность описывается формулой (4.1) и выража­ется в единицах измеряемой величины.

Однако она не может в пол­ной мере служить показателем точности измерений, так как одно и то же ее значение, например, Д = 0,05 мм при X = 100 мм соответствует достаточно высокой точности измерений, а при X = 1 мм - низкой. Поэтому и вводится понятие относительной погрешности. Относи­тельная погрешность - это отношение абсолютной погрешности из­мерения к истинному значению измеряемой величины:

Эта наглядная характеристика точности результата измерения не годится для нормирования погрешности СИ, так как при изме­нении значений Q принимает различные значения вплоть до беско­нечности при Q = 0. В связи с этим для указания и нормирования погрешности СИ используется еще одна разновидность погрешно­сти - приведенная.

Приведенная погрешность - это относительная погрешность, в которой абсолютная погрешность СИ отнесена к условно принятому , постоянному во всем диапазоне измерений или его части:

Условно принятое значение Q N называют нормирующим. Чаще всего за него принимают верхний предел измерений данного СИ, применительно к которым и используется главным образом поня­тие "приведенная погрешность".

В зависимости от места возникновения различают инструмен­тальные, методические и субъективные погрешности.

Инструментальная погрешность обусловлена погрешностью при­меняемого СИ. Иногда эту погрешность называют аппаратурной.

Методическая, погрешность измерения обусловлена:

Отличием принятой модели объекта измерения от модели, аде­кватно описывающей его свойство, которое определяется путем из­мерения;

Влиянием способов применения СИ. Это имеет место, напри­мер, при измерении напряжения вольтметром с конечным значе­нием внутреннего сопротивления. В данном случае вольтметр шун­тирует участок цепи, на котором измеряется напряжение, и оно оказывается меньше, чем было до присоединения вольтметра;

Влиянием алгоритмов (формул), по которым производятся вы­числения результатов измерений;

Влиянием других факторов, не связанных со свойствами ис­пользуемых средств измерения.

Отличительной особенностью методических погрешностей явля­ется то, что они не могут быть указаны в нормативно-технической документации на используемое СИ, поскольку от него не зависят, а должны определяться оператором в каждом конкретном случае. В связи с этим оператор должен четко различать фактически измеряе­мую им величину и величину, подлежащую измерению.

Субъективная (личная) погрешность измерения обусловлена по­грешностью отсчета оператором показаний по шкалам СИ, диаграм­мам регистрирующих приборов. Они вызываются состоянием опера­тора, его положением во время работы, несовершенством органов чувств, эргономическими свойствами СИ. Характеристики личной погрешности определяют на основе нормированной номинальной це­ны деления шкалы измерительного прибора (или диаграммной бу­маги регистрирующего прибора) с учетом способности "среднего опе­ратора" к интерполяции в пределах деления шкалы.

По зависимости абсолютной погрешности от значений из­меряемой величины различают погрешности (рис. 4.4):

аддитивные , не зависящие от измеряемой величины;

мультипликативные , которые прямо пропорциональны измеряемой величине;

нелинейные , имеющие нелинейную зависимость от изме­ряемой величины.

Эти погрешности применяют в основном для описания метроло­гических характеристик СИ. Разделение погрешностей на аддитив­ные, мультипликативные и нелинейные весьма существенно при решении вопроса о нормировании и математическом описании по­грешностей СИ.

Примеры аддитивных погрешностей - от постоянного груза на чашке весов, от неточной установки на нуль стрелки прибора перед измерением, от термо-ЭДС в цепях постоянного тока. Причинами возникновения мультипликативных погрешностей могут быть: из­менение коэффициента усиления усилителя, изменение жесткости мембраны датчика манометра или пружины прибора, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре.

Рис. (1).4. Аддитивная (а), мультипликативная (б) и нелинейная (в)погрешности

По влиянию внешних условий различают основную и дополни­тельную погрешности СИ. Основной называется погрешность СИ, определяемая в нормальных условиях его применения. Для каждо­го СИ в нормативно-технических документах оговариваются усло­вия эксплуатации - совокупность влияющих величин (температу­ра окружающей среды, влажность, давление, напряжение и часто­та питающей сети и др.), при которых нормируется его погреш­ность. Дополнительной, называется погрешность СИ, возникающая вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин.

В зависимости от влияния характера изменения измеряе­мых величин погрешности СИ делят на статические и динамиче­ские. Статическая погрешность - это погрешность СИ приме­няемого для измерения ФВ, принимаемой за неизменную. Динамической называется погрешность СИ, возникающая дополнительно при измерении переменной ФВ и обусловленная несоответствием его реакции на скорость (частоту) изменения измеряемого сигнала.

Теория измерений – это теория о классификации переменных величин по природе информации, которая содержится в числах – значениях этих переменных величин. Происхождение переменной величины накладывает ограничения на множество действий, которые можно производить с этой величиной. Иными словами, для каждой переменной величины существует класс допустимых преобразований (КДП ), которые корректно применимы ко всем значениям этой величины.

Классификация величин по измеримости была предложена С.С.Стивенсом в 1946 году. Каждая группа величин, имеющих общие допустимые преобразования, называется шкалой измерений.

Шкалы измерений

Номинальная шкала

В шкале наименований допустимыми являются все взаимно-однозначные преобразования. В этой шкале числа используются как метки, только для различения объектов. В шкале наименований измерены, например, номера телефонов, автомашин, паспортов, студенческих билетов. Пол людей тоже измерен в шкале наименований, результат измерения принимает два значения - мужской, женский. Очевидно, что не имеет смысла складывать номера телефонов или умножать серии паспортов.

КДП : биективные преобразования.

Порядковая шкала

В порядковой шкале числа используются не только для различения объектов, но и для установления порядка между объектами. Простейшим примером являются оценки знаний учащихся. Заметим, что в средней школе применяются оценки 2, 3, 4, 5, а в высшей школе ровно тот же смысл выражается словесно - неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично. Этим подчеркивается "нечисловой" характер оценок знаний учащихся. В порядковой шкале допустимыми являются все строго монотонные преобразования.

КДП : все строго монотонные преобразования.

Шкала интервалов

По шкале интервалов измеряют величину потенциальной энергии или координату точки на прямой. В этих случаях на шкале нельзя отметить ни естественное начало отсчета, ни естественную единицу измерения. Исследователь должен сам задать точку отсчета и сам выбрать единицу измерения. Допустимыми преобразованиями в шкале интервалов являются линейные возрастающие преобразования, т.е. линейные функции. Температурные шкалы Цельсия и Фаренгейта связаны именно такой зависимостью: °C = 5/9 (°F - 32), где °C - температура (в градусах) по шкале Цельсия, а °F - температура по шкале Фаренгейта.

КДП : все преобразования вида

Шкала отношений

В шкалах отношений есть естественное начало отсчета - нуль, но нет естественной единицы измерения. По шкале отношений измерены большинство физических единиц: масса тела, длина, заряд, а также цены в экономике. Допустимыми преобразованиями шкале отношений являются подобные (изменяющие только масштаб). Другими словами, линейные возрастающие преобразования без свободного члена. Примеры использования таких преобразований: пересчет цен из одной валюты в другую по фиксированному курсу, перевод массы из килограмм в фунты.

КДП : все преобразования вида

Шкала разностей

В шкале разностей есть естественная единица измерения, но нет естественного начала отсчета. Время измеряется по шкале разностей, если год (или сутки - от полудня до полудня) принимаем естественной единицей измерения, и по шкале интервалов в общем случае. На современном уровне знаний естественного начала отсчета времени указать нельзя. Допустимыми преобразованиями шкале разностей являются сдвиги.

КДП : все преобразования вида

Абсолютная шкала

Только для абсолютной шкалы результаты измерений - числа в обычном смысле слова. Примером является число людей в комнате. Для абсолютной шкалы допустимым является только тождественное преобразование.

КДП :

Иерархия шкал измерений

Все шкалы делят также на 2 большие группы: качественные и количественные . К качественным шкалам относят номинальную и порядковую, к количественным - все остальные. Это разделение показывает разницу в природе шкал: например, невозможно утверждать, что школьная оценка 2 настолько же хуже оценки 4, насколько 3 хуже оценки 5, поэтому порядковые шкалы относят к качественным. В то же время, для тел разной массы аналогичное утверждение корректно: тело массой 5 кг настолько же тяжелее тела массой 3 кг, насколько тело массой 4 кг тяжелей тела массой 2 кг. Таким образом, шкалы отношений - это количественные шкалы.