ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ

Измерения и погрешности измерений

Физика - наука экспериментальная, это означает, что физические законы устанавливаются и проверяются путем накопления и сопоставления экспериментальных данных. Цель физического практикума заключается в том, чтобы студенты изучили на опыте основные физические явления, научились правильно измерять числовые значения физических величин и сопоставлять их с теоретическими формулами.

Все измерения можно разделить на два вида – прямые икосвенные .

При прямых измерениях значение искомой величины непосредственно получается по показаниям измерительного прибора. Так, например, длина измеряется линейкой, время по часам и т. д.

Если искомая физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а посредством формулы выражается через измеряемые величины, то такие измерения называются косвенными .

Измерение любой величины не дает абсолютно точного значения этой величины. Каждое измерение всегда содержит некоторую погрешность (ошибку). Ошибкой называют разность между измеренным и истинным значением.

Ошибки принято делить на систематические и случайные .

Систематической называют ошибку, которая остается постоянной на протяжении всей серии измерений. Такие погрешности обусловлены несовершенством измерительного инструмента (например, смещением нуля прибора) или методом измерений и могут быть, в принципе, исключены из конечного результата введением соответствующей поправки.

К систематическим ошибкам относятся также погрешность измерительных приборов. Точность любого прибора ограничена и характеризуется его классом точности, который, как правило, обозначен на измерительной шкале.

Случайной называется ошибка, которая изменяется в разных опытах и может быть и положительной и отрицательной. Случайные ошибки обусловлены причинами, зависящими как от измерительного устройства, (трение, зазоры, и т. п..), так и от внешних условий (вибрации, колебания напряжения в сети и т.п.).

Случайные ошибки нельзя исключить опытным путем, но их влияние на результат можно уменьшить многократными измерениями.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И СРЕДНЯЯ АБСОЛЮТНАЯ ОШИБКА.

Предположим, что мы проводим серию измерений величины Х. Из-за наличия случайных ошибок, получаем n различных значений:

Х 1 , Х 2 , Х 3 … Х n

В качестве результата измерений обычно принимают среднее значение

Разность между средним значением и результатом i – го измерения назовем абсолютной ошибкой этого измерения

В качестве меры ошибки среднего значения можно принять среднее значение абсолютной ошибки отдельного измерения

(2)

Величина
называется средней арифметической (или средней абсолютной) ошибкой.

Тогда результат измерений следует записать в виде

(3)

Для характеристики точности измерений служит относительная ошибка, которую принято выражать в процентах

(4)

СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧНАЯ ОШИБКА.

При ответственных измерениях, когда необходимо знать надежность полученных результатов, используется средняя квадратичная ошибка (или стандартное отклонение), которая определяется формулой

(5)

Величина  характеризует отклонение отдельного единичного измерения от истинного значения.

Если мы вычислили по n измерениям среднее значение по формуле (2), то это значение будет более точным, то есть будет меньше отличаться от истинного, чем каждое отдельное измерение. Средняя квадратичная ошибка среднего значения
равна

(6)

где  - среднеквадратичная ошибка каждого отдельного измерения, n – число измерений.

Таким образом, увеличивая число опытов, можно уменьшить случайную ошибку в величине среднего значения.

В настоящее время результаты научных и технических измерений принято представлять в виде

(7)

Как показывает теория, при такой записи мы знаем надежность полученного результата, а именно, что истинная величина Х с вероятностью 68% отличается отне более, чем на
.

При использовании же средней арифметической (абсолютной) ошибки (формула 2) о надежности результата ничего сказать нельзя. Некоторое представление о точности проведенных измерений в этом случае дает относительная ошибка (формула 4).

При выполнении лабораторных работ студенты могут использовать как среднюю абсолютную ошибку, так и среднюю квадратичную. Какую из них применять указывается непосредственно в каждой конкретной работе (или указывается преподавателем).

Обычно если число измерений не превышает 3 – 5, то можно использовать среднюю абсолютную ошибку. Если число измерений порядка 10 и более, то следует использовать более корректную оценку с помощью средней квадратичной ошибки среднего (формулы 5 и 6).

УЧЕТ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК.

Увеличением числа измерений можно уменьшить только случайные ошибки опыта, но не систематические.

Максимальное значение систематической ошибки обычно указывается на приборе или в его паспорте. Для измерений с помощью обычной металлической линейки систематическая ошибка составляет не менее 0,5 мм; для измерений штангенциркулем –

0,1 – 0,05 мм; микрометром – 0,01 мм.

Часто в качестве систематической ошибки берется половина цены деления прибора.

На шкалах электроизмерительных приборов указывается класс точности. Зная класс точности К, можно вычислить систематическую ошибку прибора ∆Х по формуле

где К – класс точности прибора, Х пр – предельное значение величины, которое может быть измерено по шкале прибора.

Так, амперметр класса 0,5 со шкалой до 5А измеряет ток с ошибкой не более

Погрешность цифрового прибора равна единице наименьшего индицируемого разряда.

Среднее значение полной погрешности складывается из случайной исистематической погрешностей.

Ответ с учетом систематических и случайных ошибок записывается в виде

ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В физических экспериментах чаще бывает так, что искомая физическая величина сама на опыте измерена быть не может, а является функцией других величин, измеряемых непосредственно. Например, чтобы определить объём цилиндра, надо измерить диаметр D и высоту h , а затем вычислить объем по формуле

Величины D иh будут измерены с некоторой ошибкой.Следовательно, вычисленная величина V получится также с некоторой ошибкой. Надо уметь выражать погрешность вычисленной величины через погрешности измеренных величин.

Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку.

Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.

Пусть искомая величина φ является функцией нескольких переменных Х, У, Z …

φ(Х, У, Z …).

Путем прямых измерений мы можем найти величины
, а также оценить их средние абсолютные ошибки
… или средние квадратичные ошибки Х,  У,  Z …

Тогда средняя арифметическая погрешность  вычисляется по формуле

где
- частные производные от φ по Х, У, Z . Они вычисляются для средних значений
…

Средняя квадратичная погрешность вычисляется по формуле

Пример. Выведем формулы погрешности для вычисления объёма цилиндра.

а) Средняя арифметическая погрешность.

Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой D и h.

б) Средняя квадратичная погрешность.

Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой  D ,  h .

Погрешность величины объёма будет равна

Если формула представляет выражение удобное для логарифмирования (то есть произведение, дробь, степень), то удобнее вначале вычислять относительную погрешность. Для этого (в случае средней арифметической погрешности) надо проделать следующее.

1. Прологарифмировать выражение.

2. Продифференцировать его.

3. Объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки.

4. Взять выражение перед различными дифференциалами по модулю.

5. Заменить значки дифференциалов d на значки абсолютной погрешности .

В итоге получится формула для относительной погрешности

Затем, зная , можно вычислить абсолютную погрешность 

 = 

Пример.

Аналогично можно записать относительную среднюю квадратичную погрешность

Правила представления результатов измерения следующие:

погрешность должна округляться до одной значащей цифры:

правильно  = 0,04,

неправильно -  = 0,0382;

последняя значащая цифра результата должна быть того же порядка величины, что и погрешность:

правильно  = 9,830,03,

неправильно -  = 9,8260,03;

если результат имеет очень большую или очень малую величину, необходимо использовать показательную форму записи - одну и ту же для результата и его погрешности, причем запятая десятичной дроби должна следовать за первой значащей цифрой результата:

правильно -  = (5,270,03)10 -5 ,

неправильно -  = 0,00005270,0000003,

 = 5,2710 -5 0,0000003,

 = = 0,0000527310 -7 ,

 = (5273)10 -7 ,

 = (0,5270,003) 10 -4 .

Если результат имеет размерность, ее необходимо указать:

правильно – g=(9,820,02) м/c 2 ,

неправильно – g=(9,820,02).

Правила построения графиков

1. Графики строятся на миллиметровой бумаге.

2. Перед построением графика необходимо четко определить, какая переменная величина является аргументом, а какая функцией. Значения аргумента откладываются на оси абсцисс (ось х ), значения функции - на оси ординат (ось у ).

3. Из экспериментальных данных определить пределы изменения аргумента и функции.

4. Указать физические величины, откладываемые на координатных осях, и обозначить единицы величин.

5. Нанести на график экспериментальные точки, обозначив их (крестиком, кружочком, жирной точкой).

6. Провести через экспериментальные точки плавную кривую (прямую) так, чтобы эти точки приблизительно в равном количестве располагались по обе стороны от кривой.

Ни одно измерение не свободно от погрешностей, или, точнее, вероятность измерения без погрешностей приближается к нулю. Род и причины погрешностей весьма разнообразны и на них влияют многие факторы (рис.1.2).

Общая характеристика влияющих факторов может быть систематизирована с различных точек зрения, например, по влиянию перечисленных факторов (рис.1.2).

По результатам измерения погрешности можно разделить на три вида: систематические, случайные и промахи.

Систематические погрешности, в свою очередь, делят на группы по причине их возникновения и характеру проявления. Они могут быть устранены различными способами, например, введением поправок.

рис. 1.2

Случайные погрешности вызываются сложной совокупностью изменяющихся факторов, обычно неизвестных и трудно поддающихся анализу. Их влияние на результат измерения можно уменьшить, например, путем многократных измерений с дальнейшей статистической обработкой полученных результатов методом теории вероятностей.

К промахам относятся грубые погрешности, которые возникают при внезапных изменениях условия эксперимента. Эти погрешности по своей природе тоже случайны, и после выявления должны быть исключены.

Точность измерений оценивается погрешностями измерений, которые подразделяются по природе возникновения на инструментальную и методическую и по методу вычислений на абсолютную, относительную и приведенную.

Инструментальная погрешность характеризуется классом точности измерительного прибора, который приведен в его паспорте в виде нормируемых основной и дополнительных погрешностей.

Методическая погрешность обусловлена несовершенством методов и средств измерений.

Абсолютная погрешность есть разность между измеренным G u и истинным G значениями величины, определяемая по формуле:

Δ=ΔG=G u -G

Заметим, что величина имеет размерность измеряемой величины.

Относительную погрешность находят из равенства

δ=±ΔG/G u ·100%

Приведенную погрешность рассчитывают по формуле (класс точности измерительного прибора)

δ=±ΔG/G норм ·100%

где G норм – нормирующее значение измеряемой величины. Ее принимают равной:

а) конечному значению шкалы прибора, если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы;

б) сумме конечных значений шкалы без учета знаков, если нулевая отметка расположена внутри шкалы;

в) длине шкалы, если шкала неравномерная.

Класс точности прибора устанавливается при его проверке и является нормируемой погрешностью, вычисляемой по формулам

γ=±ΔG/G норм ·100%, если ΔG m =const

где ΔG m – наибольшая возможная абсолютная погрешность прибора;

G k – конечное значение предела измерения прибора; с и d – коэффициенты, учитывающие конструктивные параметры и свойства измерительного механизма прибора.

Например, для вольтметра с постоянной относительной погрешностью имеет место равенство

δ m =±c

Относительная и приведенная погрешности связаны следующими зависимостями:

а) для любого значения приведенной погрешности

δ=±γ·G норм /G u

б) для наибольшей приведенной погрешности

δ=±γ m ·G норм /G u

Из этих соотношений следует, что при измерениях, например вольтметром, в цепи при одном и том же значении напряжения относительная погрешность тем больше, чем меньше измеряемое напряжение. И если этот вольтметр выбран неправильно, то относительная погрешность может быть соизмерима со значением G н , что является недопустимым. Заметим, что в соответствии с терминологией решаемых задач, например, при измерении напряжения G = U , при измерении тока C = I , буквенные обозначения в формулах для вычисления погрешностей необходимо заменять на соответствующие символы.

Пример 1.1. Вольтметром, имеющим значения γ m = 1,0 % , U н = G норм, G k = 450 В , измеряют напряжение U u , равное 10 В. Оценим погрешности измерений.

Решение.

Ответ. Погрешность измерений составляет 45 %. При такой погрешности измеренное напряжение нельзя считать достоверным.

При ограниченных возможностях выбора прибора (вольтметра), методическая погрешность может быть учтена поправкой, вычисленной по формуле

Пример 1.2. Вычислить абсолютную погрешность вольтметра В7-26 при измерениях напряжения в цепи постоянного тока. Класс точности вольтметра задан максимально приведенной погрешностью γ m =±2,5 % . Используемый в работе предел шкалы вольтметра U норм =30 В.

Решение. Абсолютная погрешность вычисляется по известным формулам:

(так как приведенная погрешность, по определению, выражается формулой , то отсюда можно найти и абсолютную погрешность:

Ответ. ΔU = ±0,75 В .

Важными этапами в процессе измерений являются обработка результатов и правила округления. Теория приближенных вычислений позволяет, зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий: отобрать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком большую, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов; рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результаты.

При обработке результатов применяют правила округления.

• Правило 1. Если первая из отбрасываемых цифр больше пяти, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на единицу.

• Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, то увеличение не делается.

• Правило 3. Если отбрасываемая цифра равняется пяти, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т.е. последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается, если она не четная.

Если за цифрой пять есть значащие цифры, то округление производится по правилу 2.

Применяя правило 3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем точность округления. Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как недостаточно. Взаимная компенсация погрешности обеспечит наибольшую точность результата.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.

Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная).

Когда она прямо не указана, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа, округленного по правилам 1-3, т.е., если приближенное число обозначить буквой α , то

Где Δn – предельная абсолютная погрешность; а δ n – предельная относительная погрешность.

Кроме того, при обработке результатов используются правила нахождения погрешности суммы, разности, произведения и частного.

• Правило 1. Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых, но при значительном числе погрешностей слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней.

• Правило 2. Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого или вычитаемого.

Предельную относительную погрешность легко найти, вычислив предельную абсолютную погрешность.

• Правило 3. Предельная относительная погрешность суммы (но не разности) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых.

Если все слагаемые имеют одну и ту же предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же предельную относительную погрешность. Иными словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых.

В противоположность сумме разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. Потеря точности особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

• Правило 4. Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей: δ=δ 1 +δ 2 , или, точнее, δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 где δ – относительная погрешность произведения, δ 1 δ 2 - относительные погрешности сомножителей.

Примечания :

1. Если перемножаются приближенные числа с одним и тем же количеством значащих цифр, то в произведении следует сохранить столько же значащих цифр. Последняя из сохраняемых цифр будет не вполне надежна.

2. Если некоторые сомножители имеют больше значащих цифр, чем другие, то до умножения следует первые округлить, сохранив в них столько цифр, сколько имеет наименее точный сомножитель или еще одну (в качестве запасной), дальнейшие цифры сохранять бесполезно.

3. Если требуется, чтобы произведение двух чисел имело заранее данное число вполне надежное, то в каждом из сомножителей число точных цифр (полученное измерением или вычислением) должно быть на единицу больше. Если количество сомножителей больше двух и меньше десяти, то в каждом из сомножителей число точных цифр для полной гарантии должно быть на две единицы больше, чем требуемое число точных цифр. Практически же вполне достаточно взять лишь одну лишнюю цифру.

• Правило 5. Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя. Точная величина предельной относительной погрешности всегда превышает приближенную. Процент превышения примерно равен предельно относительной погрешности делителя.

Пример 1.3. Найти предельную абсолютную погрешность частного 2,81: 0,571.

Решение. Предельная относительная погрешность делимого есть 0,005:2,81=0,2%; делителя – 0,005:0,571=0,1%; частного – 0,2% + 0,1%=0,3%. Предельная абсолютная погрешность частного приближенно составит 2,81:0,571·0,0030=0,015

Значит, в частном 2,81:0,571=4,92 уже третья значащая цифра не надежна.

Ответ. 0,015.

Пример 1.4. Вычислить относительную погрешность показаний вольтметра, включенного по схеме (рис. 1.3), которая получается, если предположить, что вольтметр имеет бесконечно большое сопротивление и не вносит искажений в измеряемую цепь. Классифицировать погрешность измерения для этой задачи.

рис. 1.3

Решение. Обозначим показания реального вольтметра через И, а вольтметра с бесконечно большим сопротивлениемчерез И ∞ . Искомая относительная погрешность

Заметим, что

тогда получим

Так как R И >>R и R > r, то дробь в знаменателе последнего равенства много меньше единицы. Поэтому можно воспользоваться приближенной формулой , справедливой при λ≤1 для любого α . Предположив, что в этой формуле α = -1 и λ= rR (r+R) -1 R И -1 , получим δ ≈ rR/(r+R) R И .

Чем больше сопротивление вольтметра по сравнению с внешним сопротивлением цепи, тем меньше погрешность. Но условие R<

Ответ. Погрешность систематическая методическая.

Пример 1.5. В цепь постоянного тока (рис.1.4) включены приборы: А – амперметр типа М 330 класса точности К А = 1,5 с пределом измерения I k = 20 А; А 1 – амперметр типа М 366 класса точности К А1 = 1,0 с пределом измерения I к1 = 7,5 А. Найти наибольшую возможную относительную погрешность измерения тока I 2 и возможные пределы его действительного значения, если приборы показали, что I=8,0А. и I 1 = 6,0А. Классифицировать измерение.

рис. 1.4

Решение. Определяем ток I 2 по показаниям прибора (без учета их погрешностей): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 А.

Найдем модули абсолютных погрешностей амперметров А и А 1

Для А имеем равенство для амперметра

Найдем сумму модулей абсолютных погрешностей:

Следовательно, наибольшая возможная и той же величины, выраженная в долях этой величины, равна 1 . 10 3 – для одного прибора; 2·10 3 – для другого прибора. Какой из этих приборов будет наиболее точным?

Решение. Точность прибора характеризуется значением, обратным погрешности (чем точнее прибор, тем меньше погрешность), т.е. для первого прибора это составит 1/(1 . 10 3) = 1000, для второго – 1/(2 . 10 3) = 500. Заметим, что 1000 > 500. Следовательно, первый прибор точнее второго в два раза.

К аналогичному выводу можно прийти, проверив соответствие погрешностей: 2 . 10 3 / 1 . 10 3 = 2.

Ответ. Первый прибор в два раза точнее второго.

Пример 1.6. Найти сумму приближенных замеров прибора. Найти количество верных знаков: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0.0714 + 0,0667 + 0.0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526.

Решение. Сложив все результаты замеров, получим 0,6187. Предельная наибольшая погрешность суммы 0,00005·9=0,00045. Значит, в последнем четвертом знаке суммы возможна ошибка до 5 единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, т.е. тысячных, получаем 0,619 – результат, в котором все знаки верные.

Ответ. 0,619. Количество верных знаков – три знака после запятой.

Задача ставится так: пусть искомая величина z определяется через другие величины a, b, c , ..., полученные при прямых измерениях

z = f (a, b, c,...) (1.11)

Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее измерений, т.е. найти доверительный интервал

при надежности a и относительную погрешность.

Что касается, то оно находится путем подстановки в правую часть (11) вместо a, b, c ,... их средних значений

3. Оценить полуширину доверительного интервала для результата косвенных измерений

,

где производные... вычисляются при

4. Определить относительную погрешность результата

5. Если зависимость z от a, b, c ,... имеет вид , где k, l, m ‒ любые действительные числа, то сначала следует найти относительную ошибку

а затем абсолютную .

6. Окончательный результат записать в виде

z = ± Dz , ε = …% при a= … .

Примечание:

При обработке результатов прямых измерений нужно следовать следующему правилу: численные значения всех рассчитываемых величин должны содержать на один разряд больше, чем исходные (определенные экспериментально) величины.

При косвенных измерениях вычисления производить по правилам приближенных вычислений :

Правило 1. При сложении и вычитании приближенных чисел необходимо:

а) выделить слагаемое, у которого сомнительная цифра имеет наиболее высокий разряд;

б) все остальные слагаемые округлить до следующего разряда (сохраняется одна запасная цифра);

в) произвести сложение (вычитание);

г) в результате отбросить последнюю цифру путем округления (разряд сомнительной цифры результата при этом совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр слагаемых).

Пример: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.

В этих числах последние значащие цифры сомнительные (неверные уже отброшены). Запишем их в виде 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064.

Видно, что у первого слагаемого сомнительная цифра 2 имеет наиболее высокий разряд (десятки). Округлив все другие числа до следующего разряда и сложив, получим

543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094·10 5 .

Правило 2. При умножении (делении) приближенных чисел необходимо:

а) выделить число (числа) с наименьшим количеством значащих цифр (ЗНАЧАЩИЕ – цифры отличные от ноля и ноли стоящие между ними );

б) округлить остальные числа так, чтобы в них было на одну значащую цифру больше (сохраняется одна запасная цифра), чем выделенном по п. а;

в) перемножить (разделить) полученные числа;

г) в результате оставить столько значащих цифр, сколько их было в числе (числах) с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример: .

Правило 3. При возведении в степень, при извлечении корня в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном числе.

Пример: .

Правило 4. При нахождении логарифма числа мантисса логарифма должна иметь столько значащих цифр, сколько их в исходном числе:

Пример: .

В окончательной записиабсолютной погрешности следует оставлять только одну значащую цифру . (Если этой цифрой окажется 1, то после нее сохраняют еще одну цифру).

Среднее значение округляется до того же разряда, что и абсолютная погрешность.

Например: V = (375,21 0,03) см 3 = (3,7521 0,0003) см 3 .

I = (5,530 0,013) А, A = Дж.

Порядок выполнения работы

Определение диаметра цилиндра .

1. Штангенциркулем измерить 7 раз (в разных местах и направлениях) диаметр цилиндра. Результаты записать в таблицу.

№ п/п

d i , мм

d i -

(d i - ) 2

h i , мм и Похожая информация:

Погрешности измеряемых и табличных величин обуславливают погрешности DХ ср косвенно определяемой величины, причем наибольший вклад в DХ ср дают наименее точные величины, имеющие максимальную относительную погрешность d . Поэтому, для повышения точности косвенных измерений, необходимо добиваться равноточности прямых измерений

(d А, d В, d С, …).

Правила нахождения погрешностей косвенных измерений:

1. Находят натуральный логарифм от заданной функции

ln{X = f(A,B,C,…)};

2. Находят полный дифференциал (по всем переменным) от найденного натурального логарифма заданной функции;

3. Заменяют знак дифференциала d на знак абсолютной погрешности D;

4. Заменяют все «минусы», стоящими перед абсолютными погрешностями DА, DВ, DС , … на «плюсы».

В результате получается формула наибольшей относительной погрешности d x косвенно измеренной величины Х:

d x = = j (A ср, B ср, C ср, …, DA ср, DB ср, DC ср, …). (18)

По найденной относительной погрешности d x определяют абсолютную погрешность косвенного измерения:

DХ ср = d x . Х ср . (19)

Результат косвенных измерений записывают в стандартном виде и изображают на числовой оси:

X = (X ср ± DХ ср), ед.изм. (20)

Пример :

Найти значения относительной и средней погрешностей физической величины L , определяемой косвенно по формуле:

, (21)

где π, g, t, k, α, β – величины, значения которых измерены или взяты из справочных таблиц и занесены в таблицу результатов измерений и табличных данных (подобную табл.1).

1. Вычисляют среднее значение L ср , подставляя в (21) средние значения из таблицы – π ср, g ср, t ср, k ср, α ср, β ср.

2. Определяют наибольшую относительную погрешность δ L :

a). Логарифмируют формулу (21):

b). Дифференцируют полученное выражение (22):

c).Заменяют знак дифференциала d на Δ, а «минусы» перед абсолютными погрешностями – на «плюсы», и получают выражение для наибольшей относительной погрешности δ L :

d). Подставляя в полученное выражение средние значения входящих величин и их погрешностей из таблицы результатов измерений, вычисляют δ L .

3. Затем вычисляют абсолютную погрешность ΔL ср :

Результат записывают в стандартном виде и изображают графически на оси L :

, ед. изм.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

Измерение есть нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств - мер, измерительных приборов.

Мера есть средство измерений, воспроизводящее физическую величину заданного размера - единица измерения, ее кратное или дробное значение. Например, гири 1 кг, 5 кг, 10 кг.

Измерительный прибор есть средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем. Измерительный прибор позволяет прямо или косвенно сравнивать измеряемую величину с мерами. Измерения также разделяют на прямые и косвенные.

При прямых измерениях искомое значение величины находят непосредственно из основных (опытных) данных.

При косвенных измерениях искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Принцип измерений есть совокупность физических явлений, на которых основаны измерения.

Метод измерений - совокупность приемов использования принципов и средств измерений. Значение физической величины, которое идеальным образом отражало бы в качественном и количественном отношениях соответствующее свойство данного объекта есть истинное значение физической величины. Значение физической величины, найденное путем ее измерения есть результат измерения.

Отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины есть погрешность измерения.

Абсолютная погрешность измерения есть погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины и равная разности результата и истинного значения измеряемой величины. Отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины есть относительная погрешность измерения.

Вклад в погрешность измерения вносят погрешности средств измерений (инструментальная или приборная погрешность), несовершенство метода измерений, погрешность отсчитывания по шкале прибора, внешние влияния на средства и объекты измерений, запаздывание реакции человека на световой и звуковой сигналы.

По характеру проявления погрешности делят на систематические и случайные. Случайным называется событие, которое при заданном комплексе факторов может произойти или не произойти.

Случайная погрешность - составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Характерным признаком случайных погрешностей является изменение величин и знака погрешности в неизменных условиях измерений.

Систематическая погрешность - составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности в принципе могут быть исключены путем поправок, применением более точных приборов и методов (хотя на практике обнаружить систематическую погрешность не всегда легко). Исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений (теория вероятности) позволяет лишь установить обоснованную оценку их величины.

Погрешности прямых измерений

Положим, что систематические погрешности исключены и погрешности результатов измерений являются только случайными. Обозначим буквами - результаты измерений физической величины, истинное значение которого равно. Абсолютные погрешности результатов отдельных измерений обозначены:

Суммируя получено левые и правые стороны равенства (1), получим:

(2)

В основе теории случайных погрешностей лежат подтверждаемые опытом предположения:

погрешности могут принимать непрерывный ряд значений;

при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;

вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины. Необходимо также, чтобы погрешности были малы по сравнению с измеряемой величиной и независимы.

Согласно предположению (1) при числе измерений n   получим

,

Однако, всегда число измерений конечно и остается неизвестным. Но для практических целей достаточно найти экспериментальным путем значение физической величины настолько приближающееся к истинному, чтоможет быть использована вместо истинного. Вопрос в том, как оценить степень этого приближения?

По теории вероятности среднее арифметическое серии измерений достовернее результатов отдельных измерений, т.к. случайные отклонения от истинного значения в разные стороны равновероятны. За вероятность появления величины a i в интервале шириной 2a i понимают относительную частоту появления значений a i , попадающих в интервал 2a i к числу всех появляющихся значений a i при числе опытов (измерений), стремящихся к бесконечности. Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю, т.е. 0    100 %.

Вероятность того, что искомая величина (истинное значение ее) содержится в интервале (a - a, a + a) назовем доверительной вероятностью (надежностью) , а соответствующий  интервал (a - a, a + a) - доверительным интервалом; чем меньше величина погрешности a, тем меньше и вероятность того, что измеряемая величина содержится в интервале, определенной этой погрешностью. Верно и обратное утверждение: чем меньше надежность результата, тем уже доверительный интервал искомой величины.

При большом n (практически при n  100) полуширина доверительного интервала при заданной надежности  равна

, (3)

где K() = 1 при  = 0,68; K() = 2 при  = 0,95; K() = 3 при  = 0,997.

При малом числе измерений, что чаще всего и встречается в студенческом лабораторном практикуме, коэффициент K()в (3) зависит не только от , но еще и от числа измерений n. Поэтому мы всегда будем при наличии только случайной погрешности полуширину доверительного интервала находить по формуле

(4)

В (4) коэффициент t  n называется коэффициентом Стьюдента. Для  = 0,95 принятой в студенческом практикуме, значения t  n таковы:

Величину называют среднеквадратичной погрешностью среднего арифметического из серии измерений.

Погрешность прибора или меры обычно указывается в паспорте его (ее) или условным знаком на шкале прибора. Обычно под погрешностью прибора  понимают полуширину интервала, внутри которого с вероятностью измерений 0,997 может быть заключена измеряемая величина, если погрешность измерений обусловлена только погрешностью прибора. В качестве общей (полной) погрешности результата измерений примем с вероятностью  = 0,95

Абсолютная погрешность позволяет установить в каком знаке полученного результата содержится неточность. Относительная погрешность дает информацию о том, какую долю (процент) измеряемой величины составляет погрешность (полуширина доверительного интервала).

Окончательный результат серии прямых измерений величины a 0 запишем в виде

.

Например

(6)

Таким образом, любая физическая величина, найденная опытным путем, должна быть представлена:

Основной качественной характеристикой любого датчика КИП является погрешность измерения контролируемого параметра. Погрешность измерения прибора это величина расхождения между тем, что показал (измерил) датчик КИП и тем, что есть на самом деле. Погрешность измерения для каждого конкретного типа датчика указывается в сопроводительной документации (паспорт, инструкция по эксплуатации, методика поверки), которая поставляется вместе с данным датчиком.

По форме представления погрешности делятся на абсолютную , относительную и приведенную погрешности.

Абсолютная погрешность – это разница между измеренной датчиком величиной Хизм и действительным значением Хд этой величины.

Действительное значение Хд измеряемой величины это найденное экспериментально значение измеряемой величины максимально близкое к ее истинному значению. Говоря простым языком действительное значение Хд это значение, измеренное эталонным прибором, или сгенерированное калибратором или задатчиком высокого класса точности. Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах измерения, что и измеряемая величина (например, в м3/ч, мА, МПа и т.п.). Так как измеренная величина может оказаться как больше, так и меньше ее действительного значения, то погрешность измерения может быть как со знаком плюс (показания прибора завышены), так и со знаком минус (прибор занижает).

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения Δ к действительному значению Хд измеряемой величины.

Относительная погрешность выражается в процентах, либо является безразмерной величиной, а также может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Приведенная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения Δ к нормирующему значению Хn, постоянному во всем диапазоне измерения или его части.

Нормирующее значение Хn зависит от типа шкалы датчика КИП:

1. Если шкала датчика односторонняя и нижний предел измерения равен нулю (например, шкала датчика от 0 до 150 м3/ч), то Хn принимается равным верхнему пределу измерения (в нашем случае Хn = 150 м3/ч).
2. Если шкала датчика односторонняя, но нижний предел измерения не равен нулю (например, шкала датчика от 30 до 150 м3/ч), то Хn принимается равным разности верхнего и нижнего пределов измерения (в нашем случае Хn = 150-30 = 120 м3/ч).
3. Если шкала датчика двухсторонняя (например, от -50 до +150 ˚С), то Хn равно ширине диапазона измерения датчика (в нашем случае Хn = 50+150 = 200 ˚С).

Приведенная погрешность выражается в процентах, либо является безразмерной величиной, а также может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Довольно часто в описании на тот или иной датчик указывается не только диапазон измерения, например, от 0 до 50 мг/м3, но и диапазон показаний, например, от 0 до 100 мг/м3. Приведенная погрешность в этом случае нормируется к концу диапазона измерения, то есть к 50 мг/м3, а в диапазоне показаний от 50 до 100 мг/м3 погрешность измерения датчика не определена вовсе – фактически датчик может показать все что угодно и иметь любую погрешность измерения. Диапазон измерения датчика может быть разбит на несколько измерительных поддиапазонов, для каждого из которых может быть определена своя погрешность как по величине, так и по форме представления. При этом при поверке таких датчиков для каждого поддиапазона могут применяться свои образцовые средства измерения, перечень которых указан в методике поверки на данный прибор.

У некоторых приборов в паспортах вместо погрешности измерения указывают класс точности. К таким приборам относятся механические манометры, показывающие биметаллические термометры, термостаты, указатели расхода, стрелочные амперметры и вольтметры для щитового монтажа и т.п. Класс точности – это обобщенная характеристика средств измерений, определяемая пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, а также рядом других свойств, влияющих на точность осуществляемых с их помощью измерений. При этом класс точности не является непосредственной характеристикой точности измерений, выполняемых этим прибором, он лишь указывает на возможную инструментальную составляющую погрешности измерения. Класс точности прибора наноситься на его шкалу или корпус по ГОСТ 8.401-80.

При присвоении прибору класса точности он выбирается из ряда 1·10 n ; 1,5·10 n ; (1,6·10 n); 2·10 n ; 2,5·10 n ; (3·10 n); 4·10 n ; 5·10 n ; 6·10 n ; (где n =1, 0, -1, -2, и т. д.). Значения классов точности, указанные в скобках, не устанавливают для вновь разрабатываемых средств измерений.

Определение погрешности измерения датчиков выполняют, например, при их периодической поверке и калибровке. С помощью различных задатчиков и калибраторов с высокой точностью генерируют определенные значения той или иной физической величины и сличают показания поверяемого датчика с показаниями образцового средства измерения, на которое подается то же самое значение физической величины. Причем погрешность измерения датчика контролируется как при прямом ходе (увеличение измеряемой физической величины от минимума до максимума шкалы), так и при обратном ходе (уменьшение измеряемой величины от максимума до минимума шкалы). Это связано с тем, что из-за упругих свойств чувствительного элемента датчика (мембрана датчика давления), различной интенсивности протекания химических реакций (электрохимический сенсор), тепловой инерции и т.п. показания датчика будут различны в зависимости от того, как меняется воздействующая на датчик физическая величина: уменьшается или увеличивается.

Довольно часто в соответствии с методикой поверки отсчет показаний датчика при поверке нужно выполнять не по его дисплею или шкале, а по величине выходного сигнала, например, по величине выходного тока токового выхода 4…20 мА.

У поверяемого датчика давления со шкалой измерения от 0 до 250 mbar основная относительная погрешность измерения во всем диапазоне измерений равна 5%. Датчик имеет токовый выход 4…20 мА. На датчик калибратором подано давление 125 mbar, при этом его выходной сигнал равен 12,62 мА. Необходимо определить укладываются ли показания датчика в допустимые пределы.

Во-первых, необходимо вычислить каким должен быть выходной ток датчика Iвых.т при давлении Рт = 125 mbar.

Iвых.т = Iш.вых.мин + ((Iш.вых.макс – Iш.вых.мин)/(Рш.макс – Рш.мин))*Рт

где Iвых.т – выходной ток датчика при заданном давлении 125 mbar, мА.

Iш.вых.мин – минимальный выходной ток датчика, мА. Для датчика с выходом 4…20 мА Iш.вых.мин = 4 мА, для датчика с выходом 0…5 или 0…20 мА Iш.вых.мин = 0.

Iш.вых.макс - максимальный выходной ток датчика, мА. Для датчика с выходом 0…20 или 4…20 мА Iш.вых.макс = 20 мА, для датчика с выходом 0…5 мА Iш.вых.макс = 5 мА.

Рш.макс – максимум шкалы датчика давления, mbar. Рш.макс = 250 mbar.

Рш.мин – минимум шкалы датчика давления, mbar. Рш.мин = 0 mbar.

Рт – поданное с калибратора на датчик давление, mbar. Рт = 125 mbar.

Подставив известные значения получим:

Iвых.т = 4 + ((20-4)/(250-0))*125 = 12 мА

То есть при поданном на датчик давлении равном 125 mbar на его токовом выходе должно быть 12 мА. Считаем, в каких пределах может изменяться расчетное значение выходного тока, учитывая, что основная относительная погрешность измерения равна ± 5%.

ΔIвых.т =12 ± (12*5%)/100% = (12 ± 0,6) мА

То есть при поданном на датчик давлении равном 125 mbar на его токовом выходе выходной сигнал должен быть в пределах от 11,40 до 12,60 мА. По условию задачи мы имеем выходной сигнал 12,62 мА, значит наш датчик не уложился в определенную производителем погрешность измерения и требует настройки.

Основная относительная погрешность измерения нашего датчика равна:

δ = ((12,62 – 12,00)/12,00)*100% = 5,17%

Поверка и калибровка приборов КИП должна выполнятся при нормальных условиях окружающей среды по атмосферному давлению, влажности и температуре и при номинальном напряжении питания датчика, так как более высокие или низкие температура и напряжение питания могут привезти к появлению дополнительной погрешности измерения. Условия проведения поверки указываются в методике поверки. Приборы, погрешность измерения которых не уложилась в установленные методикой поверки рамки либо заново регулируют и настраивают, после чего они повторно проходят поверку, либо, если настройка не принесла результатов, например, из-за старения или чрезмерной деформации сенсора, ремонтируются. Если ремонт невозможен то приборы бракуются и выводятся из эксплуатации.

Если все же приборы удалось отремонтировать то они подвергаются уже не периодической, а первичной поверке с выполнением всех изложенных в методике поверки пунктов для данного вида поверки. В некоторых случаях прибор специально подвергают незначительному ремонту () так как по методике поверки выполнить первичную поверку оказывается существенно легче и дешевле чем периодическую, из-за различий в наборе образцовых средств измерения, которые используются при периодической и первичной поверках.

Для закрепления и проверки полученных знаний рекомендую выполнить .

Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными , если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.

Случайные погрешности при прямых измерениях

Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноN измерений одной и той же величиныx в отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x 1 ,x 2 , …,x N . В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:

Абсолютной погрешностью единичного измерения называется разность вида:

.

Среднее значение абсолютной погрешности N единичных измерений:

(2)

называется средней абсолютной погрешностью .

Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:

. (3)

Приборные погрешности при прямых измерениях

Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).

Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).

Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).

Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности С , указанному на шкале прибора:

Например:
и
,

где U max и I max – предел измерения прибора.

Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.

После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.

Вычисление погрешностей при косвенных измерениях

Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b , c … , значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a , b , c …).

Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:

X = f(a ,b ,c …).

Одним из способов вычисления погрешности является способ дифференцирования натурального логарифма функции Х = f(a , b , c …). Если, например, искомая величина Х определяется соотношением Х = , то после логарифмирования получаем:lnX = lna + lnb + ln(c + d ).

Дифференциал этого выражения имеет вид:

.

Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:

 =
. (4)

Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:

Х = Х(5)

Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:

1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.

2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.

3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:

X = f(a ,b ,c …).

4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a , b , c …) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).

5) Рассчитывают относительную погрешность  = .

6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).

7) Окончательный результат записывают в виде:

Х = Х ср Х

Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:

	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
	a+  b
	a+  b
Total: 0 Вконтакте0 Google+0 ОК0 Facebook0 Похожие записи Предметы народного быта в россии Обмен веществ и энергии. Белки, жиры, углеводы. Справка При окислении 1 г белков выделяется кдж Тема: «Взаимодействие океана с атмосферой и сушей Самое обсуждаемое Какие бывают выделения при беременности на ранних сроках? Сонник и толкование снов К чему увидеть кошку во сне?